Nyquistkriteriet

Nyquistkriteriet

Cauchys argumentprincip.¹ Låt $f$ vara analytisk, med undantag för ändligt många poler, i ett öppet område $\Omega$. Låt $\gamma$ omsluta alla poler och nollställen enkelt. Då gäller:

där $N$ är antalet nollställen och P är antalet poler innanför kurvan.

Integralen i högerledet tolkas som variationen av argumentet. Det är en sluten kurva, så argumentet kommer att ändras med en multipel av $2\pi i$, vilket ger att N-P blir ett heltal. För ett slutet system ges polerna av nollställena till $(1+G_o(s))$. Låt $\gamma$ vara en kurva som omsluter hela höger halvplan, och betrakta $\gamma’$ som då genomlöps av $G_o(s)$.

Nyquistkriteriet.² Antal poler i HHP till det återkopplade systemet är lika med antalet poler i HHP för det öppna systemet, plus antalet varv som $\gamma’$ omsluter punkten -1 i positiv riktning.

Nyquistkurvan

För att rita upp Nyquistkurvan tittar vi på hur kurvan $\gamma$ avbildas på $G_o(s)$. Poler på imaginära axeln utesluts genom att bilda halvcirklar med radie $r\to0$ . Dessutom behövs en stor halvcirkel med radie $R\to\infty$ som omsluter högra halvplanet “i oändligheten”. Figur \ref{fig:gamma} visar ett exempel då $G_0$ har ett nollställe i origo.

Övningsuppgifter

3.15, 3.16a, 3.17