Frekvenssvar, Bodediagram

Frekvensbeskrivning

Funktioner kan via Fouriertransformen beskrivas med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner genom att funktionens frekvensinnehåll summeras (eller integreras). Det är därför intressant att studera hur ett system påverkar dessa olika frekvenser.

För ett linjärt, tidsinvariant system $G(s)$ gäller att:

$u(t) = A\sin(\omega_0t) \implies y(t) = |G(i\omega)| \sin(\omega t + \phi)$

där $\phi$ är $\arg G(i\omega_0)$.

Vi har alltså att frekvensen för utsignalen är densamma som för insignalen men att amplituden och fasförskjutningen ändras.

Bodediagram

Bodediagram är likt Nyquistkurvan ett sätt att visualisera ett systems frekvenssvar. Istället för att representera $G(i\omega)$ i det komplexa talplanet delar vi här upp frekvenssvaret i två diagram, ett för beloppet (beloppskurvan) och ett för argumentet (faskurvan). Bodediagram har fördelen att de:

Är relativt lätta att läsa av
Logskalan gör att de enkelt kan seriekopplas

Steg för att skissa ett Bodediagram

1) Faktorisera $G(s)$

Skriv om överföringsfunktionen som:

$G(s) = \frac{K(1+\frac{s}{z_1})(1+\frac{s}{z_2})\ldots(1+\frac{s}{z_m})}{s^p(1+\frac{s}{p_1})(1+\frac{s}{p_2})\ldots(1+\frac{s}{p_n})}$

2) Hög- och lågfrekvensasymptoter \begin{align}G_{lf}(i\omega) &= \lim_{\omega\to0}G(i\omega)\nonumber \\G_{hf}(i\omega) &= \lim_{\omega\to\infty}G(i\omega) \nonumber \end{align}

3) Brytpunkter

Brytpunkterna är där $\omega=z_1,\ldots,z_m, p_1, \ldots, p_n$. Poler motsvarar $-1$ dekad, nollställen motsvarar $+1$ dekad.

4) Utvärdera belopp och argument

För att veta hur vi ska kunna skissa beloppskurvan och argumentskurvan måste vi utvärdera dessa vid ett par punkter.

Intressanta storheter hos ett Bodediagram

Öppna systemet
$\omega_c$	Skärfrekvens	Den frekvens där beloppskurvan skär 1 (=0 dB)
$\omega_p$	Fasskärfrekvens	Den frekvens där faskurvan skär -180°
$\phi_m$	Fasmarginal	Faskurvans avstånd till -180° vid $\omega=\omega_c$
$A_m$	Amplitudmarginal	Beloppkurvans avstånd till 1 vid $\omega=\omega_c$
$e_0$	Statiskt fel	$(1+G_o(0))^{-1}$

Slutna systemet
$\omega_B$	Bandbredd	Den frekvens där beloppet blir mindre än $1/\sqrt{2}$ (=3 dB)
$\omega_r$	Resonansfrekvens	Den frekvens där resonanstoppen förekommer
$M_p$	Resonanstopphöjd	Maxamplitud för resonanstopp

Övningsuppgifter

4.1, 4.2, 5.8a, 4.4, 5.2ab