Styr- och observerbarhet

Styrbarhet och Observerbarhet

Styrbarhet. Ett tillstånd $x^\star$ kallas för styrbart om en insignal existerar s.a. den tar tillståndsvektorn $x$ från origo till $x^\star$på ändlig tid. Ett system kallas för styrbart om alla tillstånd är styrbara.

Styrbarhetsmatrisen ges av:

\begin{equation} \mathcal{S} = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \ldots & A^{n-1}B \end{bmatrix} \end{equation}

Styrbara tillstånd ligger i $\mbox{span}(\mathcal{S})$. Systemet är styrbart om $\mbox{span}(\mathcal{S}) = \mathbb{R}^n$, vilket är ekvivalent med att $\det\mathcal{S} \neq 0$.

Observerbarhet. Ett tillstånd $x^\star$ kallas för icke-observerbart om utsignalen är identiskt 0 då $x(0) = x^\star$ och insignalen är 0. Ett system kallas för icke-observerbart om alla tillstånd är icke-observerbara.

Observerbarhetsmatrisen ges av:

\begin{equation} \mathcal{O} = \begin{bmatrix}C\\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix} \end{equation}

Icke-observerbara tillstånd ligger i $\mbox{ker}(\mathcal{O})$. Systemet är observerbart om det saknar icke-observerbara tillstånd, vilket är ekvivalent med att $\mbox{rank}(\mathcal{O}) = n$ d.v.s. om $\det(\mathcal{O}) \neq 0$.

Övningsuppgifter

8.13, 8.10, 9.1