| INTRO |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
|
|
 |
 |
 |
4A:2
4A
4A:1
Logaritmer
4A : Logaritmer (forts).
Med hjälp av logaritmens definition och av potenslagarna kan man härleda följande viktiga logaritmlagar (de formuleras här för ln, men gäller för alla logaritmer):
En typisk användning av logaritmer är att applicera dem
på bägge led i en ekvation där x förekommer i exponenten.
Ofta kan man då lösa ekvationen som i Ex 4.1a nedan:
Om det däremot förekommer något + eller - i ekvationen är logaritmen verkningslös. Det finns nämligen ingen formel som förenklar uttryck av typen ln(a+b).
I samband med logaritmer uppstår ofta definitionsmängdsproblem (som för kvadratrötter) vilket fordrar att erhållna rötter prövas i ursprungsekvationen:
Kommentarer.
Uttrycken i formlerna förutsätts vara definierade.Därför krävs a > 0 och b > 0.
s kan däremot vara negativt.
Om både A(x) och B(x) är > 0 för alla x,
är ekvationen
A(x) = B(x)
ekvivalent med ekvationen
ln A(x) = ln B(x) .
Detta är tillämpligt på Ex 4.1a.
Där behöver man alltså inte pröva den erhållna roten.
Det finns ingen allmän formel som förenklar uttryck av typen ln a/ln b
Observera dock att i speciella fall kan man förenkla:
ln 8/ln 2 = ln 23/ln 2 = 3 ln 2/ ln 2 = 3.
Logaritmen kom alltså in i slutskedet då
man övergår från t till x via t = 2x = 3.
Ekvationen (*) och (1) i Ex 4.1c är inte ekvivalenta.
Orsaken är att definitionsmängderna för de ingående uttrycken är olika.
I (*) finns restriktionen att logaritmernas argument ska vara > 0.
(x3+x2+x > 0 och 2x2+7x > 0. )
Denna restriktion finns inte i (1).
Eftersom definitionsmängden är större i (1) än i (*) gäller att (*) => (1).
Därför kan (1) tänkas ha fler rötter än (*)
och man måste alltså pröva de erhållna rötterna.
Lägg märke till den lilla viktiga skillnaden mellan
logaritmer och kvadratrötter:
Kvadratroten ur x är definierad för x
0,medan ln x ( och loga x )
endast är definierad för x > 0.