INTRO

4B:1
4B
Övn.4B

4B. Organisk tillväxt

eller organiskt avtagande uttrycks med exponentialfunktioner och analyseras ofta med hjälp av logaritmer.

Definitionen på organisk tillväxt är att mängden y(t) (av något, ex.vis bakterie- eller kaninpopulationer ) som funktion av tiden t styrs av villkoret att tillväxten vid varje tidpunkt är proportionell mot mängden

Som differentialekvation : y'= ky .

Lösningen till denna differentialekvation skrivs vanligen

y(t) = yo ekt


där yo = y(0),      dvs den ursprungliga mängden.

Å andra sidan utnyttjar man ofta begreppet fördubblingstid och halveringstid för att beskriva förloppet, eftersom det är en egenskap hos organisk tillväxt att dessa storheter är konstanta oberoende av från vilken tidpunkt man räknar.

Man leds då till följande uttryck för organisk tillväxt resp. avtagande:

y(t) = yo 2 t/T      och       y(t) = yo 2-t/T,    där
T i förra fallet är fördubblingstiden och i andra fallet halveringstiden.

Sätt t = 0 och T i båda ekvationerna ovan och övertyga dig om att mängden förändras från

yo till 2yo    resp.    från    yo till yo/2

då t gär från 0 till T i de båda fallen!

Följande problem är därför naturliga:

Gå nu gärna till några liknande Övningar.

Kommentarer.
I stället för att först ta ln för bägge led i Ex4B.a
kan man sätta t=T:
e4T = 2,
och sedan ta ln:
4T = ln2 osv.
Även här kan man först sätta t = T = 120:

2-1 = e-120k, 2 = e120k, ln2 = 120k osv.