som4

INTRO

4C:1

4C. Napiers och Briggs logaritmer

Logaritmerna uppfanns av Napier och Briggs i början av 1600-talet.
Före datorernas tid innebar de en ofantlig förenkling av numeriska beräkningar.
Enligt Lapalce (1749-1827) fördubblade de livslängden för en astronom genom att förkorta arbetet.
Med hjälp av logaritm-tabeller kunde man ersätta tidskrävande multiplikationer av flersiffriga tal med mindre krävande additioner.
Principen var enkel. Den byggde på sambandet
log (AB) = log A + log B.
(Den vanligaste logaritmen var den briggska som hade talet 10 som bas).
Ville man multiplicera talen A och B gick man in i en logaritmtabell och fick fram talen log A och log B.
Därefter adderade man dessa tal och fick därmed, p.g.a. logaritmens egenskaper, talet log(AB).
Slutligen gick man in i logaritmtabellen och fick, genom att använda tabellen i omvänd ordning, ut det sökta talet AB.

Även räknestickan, civilingenjörernas klassiska bröstficksredskap, bygger (byggde kanske, när såg någon senast en räknesticka?) på logaritmer.
Den logaritmiska additionen svarar mot att man adderar logaritmiskt graderade sträckor m.hj.a räknestickans rörliga mittdel.

Vi har talat något om att logaritmer kan ha olika baser. Basen är ju det tal som upphöjs till logaritmen så att resultatet blir x. Om basen är a visar man det genom beteckningen log_a x.

Alltså : a^log_ax = x (Undantag: om a = e, skriver man som känt ln x .
log₁₀x skrivs också ofta lg x.).

Ibland behöver man byta bas på en logaritm.

Här är formeln:

(Bevis: Sätt a^VL = a^HL och använd potenslagar.)

Vill man byta bas från a till b får man alltså använda faktorn log_a b:

log_a x = log_a b · log_b x

Observera också att om man sätter c = a i formeln får man det intressanta sambandet

log_a b = 1/log_b a (eftersom log_a a = 1.)
Exempelvis: ln 10 = 1/log₁₀e.

Länk.

J. Napier
1550 - 1617

Logaritmer hör till den inte alltför ovanliga kategori av uppfinningar som var ytterst komplicerade och svårförståeliga när de presenterades första gången.
Napier fick alltså idén först och det är något av ett mirakel att han lyckades beskriva och utveckla den utan hjälp av den moderna matematiska notationen som vi tar för given. (Se också avsnitt 1C)
I den här länkade Napier-biografin görs ett försök att förklara Napiers ursprungliga logaritmbegrepp och det är faktiskt en utmaning att försöka förstå vad han menade.
Som tur var uppenbarade sig Briggs och föreslog en modifikation med talet 10 som bas (som vi säger idag.)
Detta beskrivs ganska utförligt på den länkade sidan.