sin(i) = i sinh

cos(i) = cosh

Man skall känna till deras definitioner i termer av exponentialfunktionen:

Av definitionen

(*)    log z = ln + iarg z    (z 0)

framgår att dess flervärdhet beror på flervärdheten hos den reellvärda funktionen arg z , som tidigare beskrivits.

För att även få tillgång till en envärd logaritm definierar man logaritmens principalvärdesfunktion som:

         Log z = ln + iArg z ,   eller

Log z = ln r + i_p,

där Arg z = _p är principalargumentet, som ju är envärt och uppfyller - < Arg z

För reella r > 0 gäller alltså att Log r = ln r.
Kursboken använder huvudsakligen beteckningen Log även för reella argument.

Länken till vänster leder till en animation som visar hur punkter på enhetscirkeln, z = eⁱ transformeras av funktionerna log z och Log z.

u_r = v/r   och   v_r = -u/r

Dessutom definieras i 2.5 de tre viktiga begreppen gren (branch) av en flervärd analytisk funktion, grensnitt (branch cut) och förgreningspunkt (branch point).

Dessa begrepp kan förklaras med utgångspunkt från principalvärdesfunktionen Log z.
Denna funktion är ju envärd och definierad överallt utom i origo.
Den är dock diskontinuerlig och därmed inte analytisk på negativa reella axeln.
Om man däremot betraktar Log z på det område man får då både origo och negativa reella axeln utesluts, blir funktionen analytisk överallt i existensdomänen.

Med detta något inskränkta existensområde blir alltså Log z en envärd analytisk funktion på sin domän. Funktionen har dessutom funktionsvärden som överensstämmer med en delmängd av log z:s funktionsvärden i domänen.
Detta uttrycker man så att Log z, med den givna existensdomänen, är en gren av log z . Man kallar också denna funktion för logaritmens principalgren.

I kursboken används beteckningen 'Log z' både för principalvärdesfunktionen och principalgrenen. Man får avgöra av sammanhanget vilket som avses (s. 112, överst).

Den 'bortopererade' linjen y = 0, x 0, kallas grensnitt eftersom den avgränsar grenens existensdomän.

Man inser att den negativa reella axeln inte är det enda möjliga grensnittet. Man kan tvärtom tänka sig ett obegränsat antal möjliga grenar av log z, definierade m.hj.a. olika grensnitt.

Dock måste varje grensnitt gå genom origo, eftersom varje fullständig omkretsning av origo leder till två olika funktionsvärden, vilket måste förhindras av något grensnitt.
Origo är därför en så kallad förgreningspunkt för log z.

Potensfunktioner f(z) = z^c ( c komplext, ej helt tal) definieras av

z^c = e^{c log z} = e^{c ( Log z+ i2k} )

och är alltså flervärda.

Eftersom de definieras i termer av log z är det naturligt att använda beteckningen principalgren även här, då log z ersätts av Log z i definitionen för z^c ovan.

Om c = n/m (rationellt) ser man att funktionen blir m-värd eftersom k=k₁ och k=k₁+m ger samma funktionsvärde.
Detta är samma fenomen som diskuterades i samband med flervärda bråkpotenser i avsnitt 1.4.

Om c däremot är något annat komplext tal (ej helt eller rationellt) så antar z^c oändligt många värden.
Om exempelvis c har en imaginärdel b skild från 0, får uttrycket för z^c
faktorn e^-2bk vilket leder till en oändlig följd av möjliga, olika värden för beloppet av z^c och därmed för z^c.

Ovanstående olika fall illustreras i Ex 1-4 , s.117-118.

I slutet av avsnittet påpekas att deriveringsregler för flervärda funktioner alltid kräver att samma gren används i f'(z) och i f(z). Detta påpekande kan utsträckas till att gälla även potens- och logaritmlagar: Samma gren i vänsterledet som i högerledet. Sådana formler bör därför alltid behandlas med en viss försiktighet.

Vid derivering av f(z) = z^c bör uttrycket f'(z) = c z^c/z föredragas framför
f'(z) = c z^c-1 eftersom f'(z) i den förra versionen innehåller f(z) = z^c  explicit. Detta gör det nämligen lättare att uppfylla kravet på samma gren i f som i f'.

Till vänster finns en länk till en animering som beskriver funktionen f(z) = z^1/2 .

Dessa funktioner har ett visst intresse därför att deras derivator är vanliga elementära funktioner.
De dyker alltså ofta upp som primitiva funktioner vid integrering.

Man bör kunna räkna fram explicita uttryck för funktionerna i termer av log z utifrån definitionerna av de trigonometriska och hyperboliska funktionerna.

Eftersom de uttrycks som funktioner av log z är de flervärda.

Som tidigare bör man se till att samma gren används för derivatan av funktionen som för funktionen själv.

Förklaring:
Att avgöra grenskiften vid omkretsningar.

I detta avsnitt diskuteras framförallt två problem:

1. En gren av en flervärd analytisk funktion f(z) definieras av ett grensnitt och ett funktionsvärde, f(z_o) = w_o.
   Bestäm f(z₁) för grenen ifråga.
2. En analytisk funktion definieras som en produkt av faktorer av typ (z-z_j)^n/m.
   Avgör om en omkretsning av en eller flera singulära punkter z_j leder till en ny gren eller inte.

Dessa två problem, som är besläktade, diskuteras i Ex 1,2,4 (problem 1) resp. Ex 3 (problem 2).

Till vänster finns två länkar som leder till diskussioner av dessa problem.

Logaritmens principalvärden Log z = ln r + i_p,
där r= och _p är principalargumentet.
Principalargumentet benämns också Arg z.

log z = Log z +i2k

Def: Gren (Branch) till en flervärd analytisk funktion: Del av den analytiska funktionen som är envärd i sin existensdomän.
Def: Grensnitt (Branch cut): Linje som avgränsar en gren.
Log z betecknar också principalgrenen av log z.

Ex 2

9
13
15

Om c är reellt irrationellt så antar z^c oändligt många värden.        (Ex 2 s.117)
Om c är ickereellt antar z^c oändligt många värden.        (Ex 3-4 s. 118)

I deriveringsregler och andra likheter måste man använda samma gren av funktionen i både höger- och vänsterleden.         (Ex 5-6 s.119))

Ex 3, Ex 4

Ex 5, Ex 6

Metoden att avgöra om en omkretsning av en eller flera förgreningspunkter leder till en ny gren . (Ex 3, s.128)

Ex 3