Omkretsning av förgreningspunkter

Typiskt för en förgreningspunkt är att en fullständig omkretsning av en sådan punkt leder till ett nytt funktionsvärde.

Ex: Om log 1 = 0 på en gren av log z och om man låter z röra sig ett varv runt origo i positiv riktning så får log 1 efter fullbordat varv värdet 2i. (Kom ihåg: log z = ln r + i).

Detta visar att z = 0 är en förgreningspunkt för log z.
Man säger också att z efter omkretsningen har hamnat på en ny gren av log z. (En gren är ju alltid en entydig funktion.) Och därvid måste alltså z ha passerat ett grensnitt för grenen.

Det inträffar ibland att man efter omkretsning av flera förgreningspunkter inte möter ett nytt funktionsvärde. Detta fenomen inträffar ofta då funktionen är en produkt av faktorer av typen (z - z_j)^p_j. ( p_j antas vara rationella tal och de konstanta komplexa talen z_j är följaktligen förgreningspunkter för funktionen.)

Detta fenomen studeras i avsnitt 3.8 i kursboken i Ex 3, s.128-130.

Här är ett annat exempel.

Betrakta funktionen f(z) = (z2+1)2/3(z-1)1/3 = (z-i)2/3(z+i)2/3(z-1)1/3. Studera uppförandet hos f(z) vid omkretsningar av en eller flera förgreningspunkter samt ange möjliga grensnitt.

Vi har alltså de tre förgreningspunkterna i. -i och 1.

Inför nu beteckningarna

f₁(z) = (z-i)^2/3     ,      f₂(z) = (z+i)^2/3     och      f₃(z) = (z-1)^1/3

för de tre faktorerna i f(z).

Med arg f_j menas tillskottet som arg f_j får då z omkretsar f_j:s förgreningspunkt z_j ett varv i positiv led. (j = 1,2,3).

Man inser att om arg f = 2k (k helt tal) efter att z genomlöpt någon sluten kurva C, så förändras inte f:s fumktionsvärden efter fullbordat varv av kurvan.

Eftersom arg f är lika med summan av de tre argumenttilskotten arg f_j, kan man få en bild av hur f:s värden förändras efter omkretsningar längs olika kurvor genom att bestämma de tre värdena arg f_j . Efter studium av exponenterna i f_j(z) finner man lätt:

arg f₁ = 4/3     (rotation runt i)

arg f₂ = 4/3      (rotation runt -i)

arg f₃ = 2/3.     (rotation runt 1)

Om man prövar sig fram och adderar olika kombinationer av de tre argumenttillskotten finner man att

arg f₁ + arg f₃ = 2     och     arg f₂ + arg f₃ = 2

Inga andra kombinationer ger någon multipel av 2.

Därmed har man i princip två möjlighetet att lägga grensnitten:

1. Snitt som tillåter rotation runt förgreningspunkterna i och 1 men förbjuder alla andra sorters omkretsningar.
2. Snitt som tillåter rotation runt förgreningspunkterna -i och 1 men förbjuder alla andra sorters omkretsningar.

Exempel på grensnitt inlagda: