Om funktionsvärden på grenar

En gren av en flervärd funktionen definieras som en del av funktionen som blir analytisk och envärd på sin existensdomän. En gren av den flervärda funktionen log z definieras normalt av ett grensnitt i form av en linje med ändpunkt i origo samt av att något funktionsvärde på grenen är givet.

Ett vanligt problem består av att bestämma funktionsvärden för någon på detta sätt definierad gren.

Exempel:
En gren av log z definieras av grensnittet y = - x, x 0 och av att log i = i5/2 på grenen.
Bestäm log(-1) på denna gren.

Man kan definiera en gren av log z entydigt genom en formel av typ:

(*)      log z = ln r + i( + 2k),

där k:s värde är bestämt och där ligger i ett bestämt öppet intervall så att inga punkter på grensnittet har argumentvärden i intervallet.

I exemplet kan vi låta ligga i intervallet

(**)      -5/4 < < 3/4,

vilket gör att grensnittet undviks.

(Även andra intervall av typ -5/4 + 2m < < 3/4 + 2m hade gått bra.)

När -intervallet är bestämt kan k:s värde i (*) bestämmas:

log i = i5/2 är givet.

Vi bestämmer till det värde på arg i som ligger i intervallet (**).
Det blir alltså = /2

Om nu formeln (*) ska ge det givna värdet på log i, måste k = 1:

log i = ln 1 + i(/2 + 2^.k) = i5 /2      ger      k = 1.

Man får alltså funktionsvärdena

(***)      log z = ln r + i( + 2),      där      -5/4 < < 3/4

på den givna grenen.

Denna formel ger det sökta värdet

log(-1) = ln 1 + i(- + 2) = i,

eftersom arg(-1) = -    i det givna -intervallet.