Avsnitt 1.1 ger en historisk inblick i hur talsystemen gradvis har utvidgats från de hela talen till de rationella, till de reella och slutligen till de komplexa.Man får veta att det var matematikern Euler som införde beteckningen 'i'.
Och det var vid försöken att allmänt lösa tredje- och fjärdegradsekvationerna (av italienska matematiker på 1500-talet) som behovet av komplexa tal först visade sig.I avsnittet definieras dessutom realdel och imaginärdel för ett komplext tal.Man påminns också om att i² = -1.

Även tekniken att medelst konjugatet och konjugatregeln skriva om en kvot till normalform repeteras:

1/(a+bi) = (a-bi)/(a+bi)(a-bi) = (a-bi)/(a²+b²).

Den geometriska tolkningen av addition och subtraktion bör man vara säker på.Pröva därför länken till vänster.

Argumentet för ett komplext tal är alltså inte entydigt bestämt.Det kan vara vilket som helst av talen

= _o + k2

Man väljer ofta_o som principalargumentet, dvs det värde som ligger i intervallet

- <

Funktionen arg(z) kommer att spela en stor roll i kursen och det kan därför vara av intresse att redan nu titta på ett försök till grafisk representation av denna flervärda funktion.

Vi kommer istället att använda

eⁱ = cos + i sin ,

som är den klassiska beteckningen (och som också förekommer i kursboken!)
Den har dessutom fördelen att underlätta förenkling av uttryck som eⁱeⁱ och (eⁱ)^k eftersom de vanliga potenslagarna fungerar på rätt sätt.
(Man får alltså eⁱ⁽⁺⁾ resp e^ik ).

Boken använder uttrycket för att beteckna den vanliga, envärda positiva m:e roten ur r.

Observera också att uttryck med talet e som bas, e^x+iy, inte anses flertydiga utan definieras som e^x(cos y + i sin y).(Detta nämns först på s. 119, men är ju bra att veta redan här).

Tolkning av addition och subtraktion

i

Titta dock gärna på Exempel 1 i 2.1, som visar hur en funktionw av x och y kan skrivas om som en funktion av z och .

I 2.2 påminns man om flervariabelgränsvärden.

Problemet med sådana är att man kräver att gränsvärdet skall vara oberoende av vägen.

Därmed blir det omöjligt för exempelvis tvåvariabelfunktioner vars graf ser ut som en spiraltrappa att få ett gränsvärde då man går in mot trappans centralaxel.Mer om detta via länken till vänster.

Derivatan f'(z) är ju ett gränsvärde man får då tillskottet i z-led z går mot 0. Det blir alltså också ett tvåvariabelgränsvärde där (x,y) -> (0,0).

För att f'(z) skall existera måste man ställa det hårda kravet att gränsvärdet ska vara oberoende av den väg som z=x+iy tar in mot origo.
Bl.a måste man kräva att gränsvärdet blir detsamma om man följer en linje parallell med x-axeln som om man följer en linje parallell med y-axeln .
I det förra fallet får man ett gränsvärde som svarar mot f:s partiella x-derivata eftersom z då är lika med x .
I det senare fallet får man istället f:s partiella y-derivata dividerad med i.
Man får division med i eftersom z = i y i detta fall och i:et framför y hamnar i nämnaren i gränsvärdet.

På s. 60-61 utförs detta resonemang vilket alltså leder till de två alternativa uttrycken för f'(z):

Denna likhet utmynnar som synes i de viktiga Cauchy-Riemanns ekvationer(formel 2.3-10a-b, s. 61).

Det finns dock en hemlighet förknippad med Cauchy-Riemanns ekvationer, som aldrig avslöjas i kursboken, men däremot i länken till vänster.

Cauchy-Riemanns ekvationer återkommer ofta i kursen och man måste alltså lära sig dem:

I 2.4 definieras vad som menas med att en funktion f(z) är analytisk i en punkt och i en domän.
Lägg märke till att för att f(z) ska vara analytisk i en punkt z_o krävs det att f(z) är deriverbar inte bara i z_o utan också i varje punkt i någon omgivning av z_o .

En funktion som bara är deriverbar i en isolerad punkt är alltså inte analytisk ens i punkten där den är deriverbar.
Se Exempel 2, s. 67, som exemplifierar detta.

Man behöver känna till begreppet hel funktion (entire function) som definieras på s. 68 och alltså betyder en funktion som är analytisk överallt.

Man behöver också känna till begreppet singularitet eller singulär punkt vilket likaså definieras på s. 68. Punkten z_o är alltså normalt en singularitet för funktionen f(z) om f inte är analytisk i z_o. Definitionen lägger dock till villkoret att z_o ska vara en randpunkt till f:s analyticitetsdomän.

Notera också den polära versionen av C-R-ekvationerna på s. 69.

Cauchy-Riemanns ekvationer har två mycket viktiga och faktiskt märkliga konsekvenser som presenteras i avsnitt 2.5.

För det första visar det sig att både realdelen och imaginärdelen av en analytisk funktion är så kallade harmoniska funktioner, dvs. lösningar till Laplaces ekvation:

Exempel: f(z) = z² = (x + iy)² = x² - y² + i2xy.

Man kan snabbt verifiera att både u(x,y) = x² - y² och v(x,y) = 2xy uppfyller Laplaces ekvation.

De båda funktionerna kallas förresten konjugerat harmoniska när de är real- resp- imaginärdelar till samma analytiska funktion.

Harmoniska funktioner dyker mycket ofta upp i tillämpningar både inom och utom den rena matematiken.
Linjära funktioner är till att börja harmoniska.
Man kan visa att uppspända membran, som trumskinn, bildar ytor som i princip är harmoniska.
De intressanta fallen uppstår då trummans ram är deformerad så att trumskinnets yta avviker från ett plan. Den är alltså då i alla fall harmonisk, vilket kan inspirera till följande karakterisering av harmoniska funktioner:

En harmonisk funktion är precis så linjär (plan) som dess randvärden tillåter den att vara.

Liknelsen med trumskinnsytan kan också leda till insikten att harmoniska funktioner aldrig bildar lokala maxima eller minima. Detta kan naturligtvis också visas strikt.

Själva beviset för att de båda funktionerna är harmoniska är gjort på en rad.Man utgår från C-R-ekvationerna, deriverar med avseende på x oxh använder att de blandade partiella derivatorna u_xy och u_yx är lika.
Försök gärna utföra beviset själv innan du tittar på s.73!

Den andra märkliga egenskapen som följer från C-R-ekvationerna är att de båda realdels- och imaginärdelsfunktionerna inte bara är harmoniska utan också relaterade till varandra på ett sätt som formuleras i Theorem 8, s.76;

De båda funktionernas nivåkurvor skär alltid varandra under räta vinklar.

Detta faktum följer också mycket lätt ur C-R-ekvationerna,

Nivåkurvor till u(x,y) är kurvor definierade av ekvationer som

för olika värden på C.

Kurvornas lutning, y'(x), fås genom derivering av (*):

Gör samma sak för v(x,y), lös ut de båda y'-funktionerna samt bilda deras produkt.
Kom ihåg att denna produkt skall vara lika med -1 för att indikera rät vinkel mellan kurvorna.
Använd C-R-ekvationerna och resultatet faller ut.

Som tidigare, utför gärna detta själv innan du tittar i facit, i detta fall på s. 76-77.

Här till vänster kan man komma till några Maple-framställda kurvor som illustrerar fenomenet med vinkelräta nivåkurvor.

13

Denna analytiska fortsättning eller utvidgning visar sig vara unik, dvs om det finns en analytisk utvidgning av en reell funktion så kan denna utföras på endast ett sätt.
Denna viktiga egenskap visas senare i kursen (Kap. 5).

I avsnitt 3.1 undersöks exponentialfunktionen e^z.Man visar att funktionen uppfyller C-R-ekvationerna överallt, vilket alltså visar att e^z är en hel funktion.

I övrigt är det värt att påpeka att formeln

eⁱ = cos + i sin

åter blir aktuell. Den kallas nu Eulers identitet..

Den berömda likheten

eⁱ + 1 = 0

som ju relaterar de 5 viktigaste talen i matematiken, upptäcktes också av Euler.
Man ser att man får denna genoma att sätta = i Eulers identitet.

I 3.2 studeras de trigonometriska funktionerna cos z och sin z.

De visar sig vara besläktade med exponentialfunktionen genom Eulers identitet och är också hela funktioner.

Det kan vara praktiskt att redan här påminna sig de hyperboliska funktionerna cosh och sinh.
M.hj.a dem får man relationerna

sin(i) = i sinh

cos(i) = cosh

(Formlerna 3.2-11 och 3.2-12, s.101)
Dessa formler är ganska nyttiga och bör läggas på minnet.

Ett annat påpekande:
Notera hur olika funktionerna e^z, cos z och sin z beter sig på reella axeln jämfört med imaginära axeln!
De trigonometriska funktionerna, har man ju vant sig vid, ligger mellan -1 och +1.
Men observera att det gäller enbart de reella funktionerna.
På den imaginära axeln växer ju både cos z och sin z som exponentialfunktioner (se formlerna ovan!).

Så man ska akta sig mycket noga för uppskattningar av typen
-1 sin z 1 i det komplexa fallet.
Detta är faktiskt ett mycket vanligt fel som inte enbart nybörjare gör sig skyldig till.