Alternativ till Cauchy-Riemann

En komplex funktion F av de reella variablerna x och y kan skrivas på formen

F(x,y) = u(x,y) + i v(x,y)

Den fråga som brukar ställas är om F har en derivata med avseende på den komplexa variabeln z = x + iy.
Som vi har sett är svaret på denna fråga: Ja, om Cauchy-Riemanns ekvationer är uppfyllda.

Ett alternativt och ganska slående villkor är följande:

Skriv om F(x,y) genom att införa variablerna

z = x + iy ,     = x - iy

eller omvänt

x = (z + )/2 ,     y = (z - )/2i             (Se ex.vis Ex 1 i 2.1 , s.47).

Antag att man då får F(x,y) = G(z,).

Det visar sig nu att z-derivatan existerar endast om inte ingår i funktionen G.

Villkoret att inte ingår kan ju formuleras

(*)      G = 0

(G står alltså för den partiella derivatan av G med avseende på .)

Allting klarnar nu om man bestämmer G uttryckt i derivator med avseeende på x och y:

Man får efter litet räkningar:

(**)      G = (u_x - v_y)/2 + i(v_x + u_y)/2

Man ser nu att villkoret (*) är ekvivalent med de två C-R-ekvationerna eftersom både real- och imaginärdelen i (**) måste vara 0.

Slutsats: Istället för C-R-ekvationerna kan man använda villkoret (*).

Ex1: F(x,y) = (x-iy)/(x² + y²) = /(z) = 1/z = G(z,) där alltså

G = 0.

F är alltså deriverbar överallt där den är definierad, dvs. för z 0.

Ex2: F(x,y) = x² + y² = z = G(z,).

Här är G = z och vi har alltså deriverbarhet endast i z=0.

Och eftersom funktionen bara är deriverbar i en isolerad punkt, är den inte analytisk någonstans.( Se vidare avsnitt 2.4!)