Potensregler.
Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt:
Ex 1: 23·2-2 = 23-2 =21 = 2.
Ex 2: 84 = (23)4 = 23·4 = 212
Logaritmer och exponentialfunktioner
Placerar man variabeln x i exponenten uppstår exponentialfunktioner:
ax med det vanligaste specialfallet ex, där
e = 2.71828182845904523... är ett viktigt tal i det här sammanhanget.
Logaritmerna loga x och loge x = ln x definieras som inverser till exponentialfunktionerna, dvs
de neutraliserar effekten av en exponentialfunktion genom att återställa
funktionsvärdet till det ursprungliga värdet x:
(Se också grafen nedan för att få en illustration av inversbegreppet).
Ett annat sätt att uttrycka samma sak är:
ln x är det tal som e skall upphöjas till för att man skall få x
|
Motsvarigheten till potenslagarna ovan är:
Observera också den viktiga inskränkningen i definitionsmängden:
ln x är definierad endast för x > 0.
|
Ekvationslösning
Här använder vi logaritmerna (dvs. ln x) i första hand som hjälpmedel att lösa vissa ekvationer.
Det gäller framförallt ekvationer med exponentialfunktioner (där alltså variabeln x förekommer i exponenterna)
och där det finns högst en term i vänster- och högerledet.
Exempel på sådana ekvationer är Exempel 1 samt Övning 1a,1b och 2c.
Här förekommer också ekvationer som kan återföras till polynomekvationer genom en
substitution. (Exempel 2, Övning 1c.)
Slutligen finns också logaritmekvationer son via logaritmlagarna kan återföras till formen
ln A = ln B, som sedan kan behandlas med metoden i Avsnitt 4. (Övning 2a och 2b).
Grafer