Kvadratkomplettering

Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen har några nollställen samt också var funktionens maximum eller minimum ligger.

Ex1: P₁(x) = x² + 2x + 3 = (x+1)² + 2.

Ex2: P₂(x) = x² + 6x + 7 = (x+3)² - 2.

I den färdiga kvadratkompletteringen finns två termer, kvadrattermen och konstanttermen.

Följande information framkommer om P₁ och P₂:

P₁(x) har inget 0-ställe eftersom konstanttermen = 2 > 0.
P₁(x) har ett minimum som antas för x=-1. (Detta följer av kvadrattermens utseende.) Minimivärdet är 2 = konstanttermen.

P₂(x) har två 0-ställen eftersom konstanttermen = -2 < 0.
P₂(x) har ett minimum som antas för x=-3. Minimivärdet är -2.

Polynomdivision.

Två tekniker gås igenom här:

• Direktdivision (se lösningarna till Övning 2. )

• Liggande stolen (se SfS-exemplet)

Den senar lämpar sig för litet större divisioner.
Båda är bra att kunna.

Behärskar man polynomdivision kan man lösa högre ekvationer bara man känner till en eller flera rötter. Om x=a är en rot till polynomekvationen P(x) = 0, är (x-a) en faktor i P(x). Genom division får man P(x) = (x-a)Q(x) och nya rötter kan eventuellt erhållas från ekvationen Q(x) = 0 som har lägre grad.

Denna typ av problem förekommer i avsnittets sluttest.

Grafer

y = P1(x) = (x+1)2+2	y = P2(x) = (x+3)2-2	Här till vänster visas graferna av de två andragradsfunktionerna P1(x) och P2(x) som förekommer i Ex1 och Ex2 ovan. Båda har minimum för x = -1 resp. x=-3, men endast den högra har nollställen, eftersom dess minimum är negativt.
y = 1/P1(x) = 1/((x+1)2+2)	y = 1/P2(x) = 1/((x+3)2-2)	Här visas de båda andragradsfunktionerna i inverterad form, 1/P1(x) resp. 1/P2(x). Man ser vilken dramatisk inverkan förekomsten av nollställen har på de inverterade funktionerna.