Gruppstudier 9/2 och 11/2Avprickningsuppgifter : 14.2: 9,11,15 14.3: 1,9 14.4: 19,23,33 14.5: 3,15 | |
|
Övningarna här innebär träning på att
beräkna dubbelintegraler genom att utföra upprepade enkelintegrationer. Till att börja med gäller det integraler över rektangulära områden, vilket ger konstanta gränser i inre integralen. (1 och 5). Därefter måste man föra in icke axelparallella randkurvor som gränser i enkelintegralerna (9 - 21), vilket leder till variabla gränser i inre integralen. Observera att om integrationsordningen tycks framgå av problemformuleringen kan detta vara en fälla. Man kan alltid byta integrationsordning. En nyttig färdighet att lära sig är att avgöra lämplig integrationsordning genom att studera dels integranden och dels integrationsområdet. Här handlar det om generaliserade integraler. I samtliga dessa tre fall är integrationsområdet obegränsat, men kom ihåg att generaliseringen också kan handla om att integranden är obegränsad. I två av dessa exempel är området rektangulärt (rektanglarna är obegränsade) samtidigt som integranden är en produkt av typ f(x)g(y) . Ta reda på hur man i detta fall kan förenkla beräkningen något! I det tredje exemplet har integrationsordningen en viss betydelse. Cirkulära områden är vanliga i samband med dubbelintegraler och polära koordinater blir därför viktiga. Observera hur den extra faktorn r efter variabeltransformationen ofta underlättar den efterföljande integreringen. I ex. 33 skall man själv hitta på en egen variabeltransformation som är anpassad till det givna integrationsområdet. Jfr Ex. 8 och 9 , s. 845-846. Där aktualiseras Jacobi-determinanten J. Trippelintegralerna inleds som för dubbelintegraler med fallet axelparallella sidor för integrationsområdet. ( 1 ) Därefter gäller det som förut att föra in de variabla gränserna i integralen. Arbetsbesparande tips: Undersök noga (i 1 - 7) om integralerna kan förenklas p.g.a. symmetrier! |