Gruppstudier 26/1 och 28/1Avprickningsuppgifter : 12.5: 15a-c, 19 12.6: 5,15 12.7: 3,7,13 12.8: 9,15 Observera att några uppgifter i avsnitt 12.8 tillkommit. | |
|
Lär dig att använda principen för flervariabelkedjeregler: Varje förekomst av variabeln deriveras för sig. Sätt + mellan derivatorna. Var noga med att särskilja partiella och ordinära derivator. Bra extrauppgift för den som hinner: 12.5: 25 (nyttigt att derivera r). Huvudidéer: Lineariseringen L och differentialen df av f är två sätt att formulera samma sak: linjär approximering. 12.6:1,5 kan lösas både i termer av lineariseringar och differentialer. Observera i 12.6:15 att f är en 2-dim. vektor som är en funktion av 3 variabler. Jacobi-matrisen Df blir därför en 2x3-matris (2 rader, 3 kolumner).. Jfr Ex. 4, s. 738. 2-variabelfunktioner, f(x,y), har nivåkurvor och 3-variabelfunktioner, F(x,y,z), har nivåytor. De 2-dimensionella gradienterna gradf och de 3-dimensionella d:o gradF spelar rollen som normalvektorer till nivåkurvorna resp. nivåytorna. Begreppet riktningsderivata är viktigt. Lär dig hur riktningsderivatan beräknas i termer av gradienten ( Du f(a,b) = u·gradf (a,b). ) I en ekvation med ex.vis 3 variabler, F(x,y,z) = 0 , kan vi välja ut en av dem, z säg, och hävda att ekvationen definierar z som funktion av de två övriga variablerna. Implicita funktionssatsen ger villkoret att detta är möjligt nära en punkt om F:s z-derivata (som bör vara kontinuerlig) är skild från 0 i punkten. I mer komplicerade fall med fler ekvationer spelar Jacobi-determinanten (the Jacobian), som är determinanten av en Jacobi-matris, samma roll som derivatan. |