Tredjegradsekvationen

Först inser man att den allmänna tredjegradsekvationen

(1)     az3 + bz2 + cz + d = 0

kan reduceras till formen

(2)     x3 + px + q = 0

genom substitutionen z = x - b/(3a).

Så det räcker alltså att ange lösningen till ekvation (2).

Inför nu beteckningarna

      D = (p/3)3 + (q/2)2.

      (*)             och

      (**)      .

De tre rötterna x1, x2 och x3 kan då uttryckas på följande sätt:

Detta visades troligen först av den italienske matematikern del Ferro (1465 - 1526).

Exempel:

x3 - 6x + 4 = 0

Här är p = -6, q = 4 samt D = (-6/3)3 + (4/2)2 = -8 + 4 = -4.

Uttrycken under tredjerötterna i (*) och (**) ovan kan därför skrivas -2 + 2i resp. -2 - 2i.

Nu kräver lösningsformeln att man drar tredje roten ur dessa komplexa uttryck, något som 1500-talsmatematikerna hade stora problem med.

(De hade dessutom egentligen inte upptäckt de komplexa talen än och skrev inte som vi gör
'i' för ' roten ur -1'.)

I detta exempel kan man dock komma vidare genom att observera att

(1+i)3 = -2 +2i och (1-i)3 = -2-2i.

Man får därför faktiskt: u = 1 + i och v = 1 - i , varav

x1 = 2,

x2 = -1 + i2 = -1 -      samt

x3 = -1 - i2 = -1 + .

Som synes har ekvationen tre reella rötter.
Men det krävdes en utflykt in i de komplexa talen för att komma fram till dem.

Tillbaks till Avsnitt 2C.2.

Tillbaks till Avsnitt 2B.