Dessa är inte de aktuella projekten. VT2024 KEX-projekt finns på en ny sida.
Kandidatexjobb i numerisk analys 2023
Kandidatsexjobbskursen på numerisk analys ska ge dig fördjupade kunskaper om utvalda numeriska beräkningsmetoder. Du kommer att få arbeta med ett större projekt med lärarstöd från forskare på avdelningen. Projektuppgiften i kandidatexjobbet kan knyta nära an till ett aktuellt forskningsprojekt inom gruppen men kan också vara en mer fristående problemstälning. Projekten inbegriper teoretisk analys, algoritmer, implementering och simuleringar.
Numeriska metoder och numerisk analys betraktas som ett ämne inom
Tillämpad matematik och beräkningsmatematik
Vad använder vi det till? och Varför?
Instruktioner för studenter
- Läs igenom alla ämnesområden nedan och välj det du tycker verkar mest intressant. Meddela ditt val till NA-KEX ämnesansvarig (Elias Jarlebring: eliasj snabel-a kth punkt se) senast samtidigt som du meddelar SCI-skolan ditt KEX-val.
- Om du tycker ett specifikt projektförslag är speciellt intressant, kontakta handledaren och fråga om mer information och om projektet är ledigt. Säg till om du vill ha detta projekt. Först till kvarn. Boka endast in dig på ett projekt. (Vi skapar nya varianter av projekt efter behov, men det finns begränsningar på antal studenter per projekt.)
- Vi tar även projektidéer från studenter. Om du har en egen projektidé inom något ämnesområde nedan, kan du även kontakta en av handledarna nedan eller NA-KEX ämnesansvarig och fråga om ditt förslag verkar vettigt. Tycker du något av de tidigare KEX-projekten (se länk längst ned på sidan) kan du även prova kontakta en handledare och fråga om hen har liknande idéer.
Ämnesområde 1: Numeriska algoritmer
I detta ämnesområde går vi in på detaljer i en eller flera numeriska algoritmer.
Det handla kan handla om en algoritm för en specifik tillämpning eller
problem med vissa strukturer. Vanliga numeriska algoritmer är FFT,
Newton, kvasinewton och matrisalgoritmer som baseras på faktorisering
till exempel LU-faktorisering eller QR-faktorisering (används till exempel för ill-posed problems).
Preliminära förslag:
Ämnesområde 3: Numeriska inverser
Att gå bakvägen i ett vetenskapligt resonemang är inte alltid så lätt. Om du vet
densiteten i en planet kan man räkna ut hur stor gravitationen är i en given punkt.
Av praktiska skäl kan man inte direkt mäta densiteten inuti en planet,
men man kan mäta gravitationen vid några punkter på jordytan.
Det inversa problemet att bestämma densitet är en typisk problemformulering
ni får behandla i dessa projekt. Här får du lära dig att lösa inversa problem
med numeriska metoder.
Andra typiska inversa problem
uppstår inom medicin, t.ex. i samband med röntgen eller tomografi.
Preliminära förslag:
Ämnesområde 4: Numerik för naturvetenksap
Planeternas banor, liksom atomers rörelse kan beskrivas med fysikaliska lagar formulerade som ekvationer - ofta komplicerade differentialekvationer. För att
beräkna beteendet som fysiken modellerar måsta man i regel lösa dessa numeriskt.
Här behandlar du en modell av något fysikaliskt,
och du får använda generella och specialiserade metoder för att simulera fysikaliska lagar.
Preliminära förslag:
- Visualization of vortices from PDE-data. In this project, you will be working on visualization methods enabling structural analysis and design for example of airfoils.
You will be taking data representing a solution to a partial differential equation and apply a smoothing technique that allows the calculation of certain
properties (vorticity and isosurface). To carry out this you will first need to familiarize yourself with the finite element method and the software called deal.ii. The tool SIAC Magic Toolbox can be used for the smoothing and also visualization of the vortices.
- Numerisk metod för simuleringar av ytaktiva ämnen. Ett centralt problem inom datorbaserade simuleringar inom flödesmekanik är att lösa partiella differentialekvationer inom eller på områden som rör sig i tiden. Dessa dynamiska områden kan tex representera ismassor som smälter i havet, hjärtklaffar, eller definieras av gränsskiktet som separerar två icke blandbara vätskor som olja och vatten. I det här projektet kommer vi att använda finita elementmetoder som inte kräver att beräkningsnätet anpassas till det rörliga området. Vi tittar speciellt på simuleringar av så kallade ytaktiva ämnen som har en viktig roll till exempel i läkemedel. Den matematiska modellen består av Navier-Stokes ekvationer kopplade med konvektions-diffusionsekvationer. Målet är att ta fram en numerisk metod baserad på finita elementmetoden som konserverar massan av de ytaktiva ämnena samt att implementera metoden i en befintlig C++-kod. Projektet ger djup inblick i fascinerande matematisk teori, programmering inom vetenskapliga beräkningar, samt tillämpningar inom flödesmekanik.
- Komplicerade geometrier. I detta projekt får du jobba med metoder och simulering av ett viktigt objekt för ingenjörsvärlden. Projektet bygger på geometrier från filer som kan laddas ned från FreeCAD / GrabCAD, t.ex. vindturbiner, printer heatsink, element, solpanel, mars rover. Du kan söka på fler objekt i GrabCAD-databasen men inte alla objekt lämpar sig för ett KEX-arbete. Studier av fysikaliska fenomen ska genomföras, t.ex vibrationer eller värmeutveckling. Till detta används programmet FEniCS. Du får lära dig jobba med mjukvara/verktyg för numeriska simulationer samt lära dig om de underliggande metoderna, oftast finita elementmetoden.
- Mikrobubblor. Mikrobubblor kan användas till att transportera läkemedel till specifika platser i kroppen där medicinen behövs, tex till en tumör. Mikrobubblorna som innesluter läkemedlet spräcks med hjälp av ultraljud när de når platsen där läkemedlet ska verka. På detta sätt kan man minska skador i kroppen och risken för biverkningar. Simuleringar kan bidra till bättre förståelse av mikrobubblornas dynamik. Målet är att utveckla en metod för att simulera dynamiken när det finns många mikrobubblor. Vi kommer att göra detta i två steg: 1) Ta fram en numerisk metod som löser de partiella differentialekvationer som ger oss kraften mellan två mikrobubblor. 2) Förflytta alla mikrobubblor givet den beräknade kraften. Metoden ska kunna hantera många mikrobubblor.
- Numeriska simuleringar av blodflödet i människohjärtat. FULLBOKAT
I detta projekt tittar vi på problem inom numerisk simulering av blodflödet i patientspecifika mänskliga hjärtan. Det långsiktiga
målet med forskningen är att kunna simulera sjukdomstillstånd i patientens hjärta, och hur blodflödet kan påverkas av olika behandlingsmetoder och operationer, för att på så sätt ge läkaren bättre information att grunda sina beslut på.
I det här kandidatarbetet vill vi titta närmare på randvillkor i vår modell för vänster hjärtkammare. Det kan handla om både
villkor längs kammarens vägg för att realistiskt simulera hur blodet rör sig längs väggen, men också om randvillkor för in- och utflöden av blod i kammaren.
De numeriska simuleringarna av blodflödet görs med Finita Elementmetoden (FEM) och bygger på lösning av Navier-Stokes ekvationer
i 3D. I projektet arbetar vi tillsammans med forskare från Karolinska Universitetssjukhuset och CNRS (French National Centre for Scientific Research) i Paris.
- Numerical algorithms for nanophotonics. FULLBOKAT
One of the key challenges within the field of nanophotonics is the computation, in an efficient and a reliable way, of resonant modes of complicated materials. In this project, you will assume that the material is frequency dependent. Rather than solving a standard eigenvalue problem, which is needed for homogeneous frequency independent materials, this project requires the solution of a nonlinear eigenvalue problem. You will learn about and implement algorithms for nonlinear eigenvalue problems and use them to solve problems stemming from nanophotonics. No prior knowledge of nanophotonics or nonlinear eigenvalue problems is required. The project can be done in MATLAB or Julia. The project is closely related to research of the numerical analysis group.
- Fler projekt läggs till vid behov.
Ämnesområde 5: Numerik för data science
"Data science" är ett interdisciplinärt fält där man använder vetenskapliga metoder, tekniker och algoritmer för att extrahera information från data. Data kan komma från
mätningar av signaler och bilder från fysikaliska processer,
t.ex. ljudupptagning eller satellitfoton, eller
från nätverk, grafer eller flöden, t.ex. sociala nätverk eller olika
typer av samhällsvetenskapliga samband.
Om du väljer detta ämne kan du använda du numeriska algoritmer och metoder
för att behandla och analysera problem som innehåller mycket data, "numerics for data science".
Preliminära förslag:
- Winograd konvolution. FULLBOKAT CNN (Convolutional neural networks) är en teknik inom djupinlärning. För att genomföra konvolutionsoperationen (på riktig svenska: faltning) används ofta "Winograd konvolution" eller Winograd FFT. Detta projekt handlar om denna metod och dess tillämpningar och effektivitet.
Winograd FFT reducerar antalet operationer som krävs för konvolutionen på ett sätt som passar speciellt bra för djupinlärning. S. Winograd uppfann algoritmen 1977, men har nu fått ny uppmärksamhet på grund av det ökade intresset av djupinlärning. Projektet kan genomföras utan förkunskap inom djupinlärning. Inledningsvis först studier av FFT-algoritmen och därefter studier av Winograd FFT, och ett första steg är att reproducera resultat i den artikeln.
- Förbättring av matrixexponentialfunktionen i PyTorch.
** Detta projekt kommer omformuleras. Fråga vid intresse. **
Ett av den mest använda verktygen inom maskininlärning är pythonpaketet pytorch. En algoritm för matrixexponentialfunktionen (beskrivet på wikipedia) är implementerat i funktionen torch.matrix_exp(input). Den nuvarande algoritmen bygger på en teknik av Bader, Blanes och Casas.
I detta projekt ska du implementera andra metoder för matrisexponentialfunktionen för att förbättra denna. Bader, Blanes och Casas metod är baserat på göra utvärdera
en Taylorutveckling. Det finns nya snabbare metoder för att evaluera Taylorutvecklingen för matrisexponentialfunktionen, som kan jämföras både i praktiken och i teorin. Erfarenhet med Python är önskvärt för detta projekt.
- Tomografisk rekonstruktion med djupinlärning.
Tomografi är samlingsnamnet på en rad teknologier för att visualisera den interna strukturen av ett objekt. Metoderna bygger på att i en tomograf upprepade gånger genomlysa objektet ifråga med genomträngande strålning/våg från olika riktningar. Resulterande mätdata kan nu efter en del modellering tolkas som brusiga indirekta observationer av objektets interna struktur. Speciellt utvecklade matematiska metoder (tomografisk rekonstruktion) används därefter för att matematiskt återskapa en bild av objektets interna struktur utifrån sådana mätdata. Den vetenskapliga frågeställningen avser att undersöka om djupinlärning kan kombineras med analytisk rekonstruktion för data med begränsat vinkelområde. Viss förkunskap inom djupinlärning är rekommenderat.
Handledare:
Ozan Öktem och Jevgenija Rudzusika och Emanuel Ström
- Learned attenuation correction for PET.
PET (Positron Emission Tomography) is a medical imaging modality that reconstructs the 3D distribution of metabolic activity or the perfusion of blood or oxygen by detecting photons emitted during the in vivo annihilation of free electrons with positrons from an injected radioactive tracer. In principle, cancer lesions will be visible in the reconstructed image with high contrast compared to the surrounding healthy tissue thanks to their particular metabolic fingerprints (for example, higher sugar metabolism).
In order to obtain information about the point of emission electronic collimation is used: Photons are paired based on timing coincidence and the emission point is then assumed to lie on the line joining the points of detection of the two photons on the detector (which is usually cylindrical in shape). If photons were free to propagate from their emission point all the way to the detector, the number of detected events in any given line defined by two detector elements would be proportional to the activity along the same line. A complication is introduce by the fact that photons can in fact interact with patient’s tissues and therefore the number of detected photons along any given line is lowered by this so called attenuation.
There are few way for correcting for attenuation and the most used one is to deploy a CT-image (which is a measure of the attenuation) of the patient taken in concomitance with the PET scan. There are few cases in which this approach is doomed to fail, the reason for this failure being a misalignment between the attenuation map estimated from the CT-image and the PET image. Moreover, there might exist cases in which a CT-image of the patient is not available.
For this reason it would be valuable to train a neural network to make some reasonable attenuation correction from the non-attenuation corrected (NAC) PET image.
Handledare:
Ozan Öktem och Jevgenija Rudzusika och Emanuel Ström
- Dataanalys inom oceonografi. För att förstå strömmar och flöden i haven används ofta många små mätenheter kallade surface drifters. Med hjälp av dessa kan man bättre förstå havets nuvarande tillstånd och förändringar, viktiga för att undersöka klimatförändringar. Mätenheterna genererar stora mängder data, som kräver analys för att extrahera relevant information. I detta projekt får du jobba med data från antingen nordsjön eller östersjön och använda numeriska metoder för att kategorisera och gruppera data (s.k. klustring) för att identifiera mönster i havets strömmar. Studien utgår från en forskningsartikel inom oceonografi.
- Djupinlärning för inversa problem.
Djupinlärning har nått anmärkningsvärda resultat inom flertal områden, såsom bild- och ljudklassificering samt syntes av bild och text. På senare tid har djupinlärning även framgångsrikt börjat tillämpats på problem inom natur- och ingenjörsvetenskaperna, såsom AlphaFold för proteinveckning. Inversa problem är en viktig klass av matematiska problem som dyker upp inom många tillämpningar. Syftet med inversa problem är att återskapa modellparametrar för en simulator så att denna genererar data som matchar mätdata. Att lösa ett inversa problem svarar således mot att köra en simulator baklänges, något som är synnerligen utmanande på grund av den instabilitet som föreligger (små ändringar i mätdata resulterar i stora ändringar i resultatet). En viktig del av att lösa ett invers problem är därför att stabilisera lösningsförfarandet genom att ta hänsyn till inte bara mätdata utan även a prior information om den modellparameter man söker att återskapa. Djupinlärning har visat sig användbar för att lära sig denna a priori information. I detta projekt får du jobba med djupinlärning och inversa problem för en specifik tillämpning. Viss förkunskap inom djupinlärning är rekommenderat.
Handledare:
Ozan Öktem och Jevgenija Rudzusika och Emanuel Ström
- M-MLEM with intertwining.
PET (Positron Emission Tomography) is a medical imaging modality that reconstructs the 3D distribution of metabolic activity or the perfusion of blood or oxygen by detecting photons emitted during the in vivo annihilation of free electrons with positrons from an injected radioactive tracer. In principle, cancer lesions will be visible in the reconstructed image with high contrast compared to the surrounding healthy tissue thanks to their particular metabolic fingerprints (for example, higher sugar metabolism).
In order to obtain information about the point of emission electronic collimation is used: Photons are paired based on timing coincidence and the emission point is then assumed to lie on the line joining the points of detection of the two photons on the detector (which is usually cylindrical in shape).
One issue with PET scans is that they require a substantial acquisition time in order to give images with acceptable (for diagnosis) signal-to-noise ratio (SNR). This leads to motion artefacts that can substantially lower lesions contrast-to-noise ratio (CNR) and therefore the diagnostic power of PET images.
Our group has developed an algorithm that can simultaneously reconstruct the 3D activity distribution (i. e. the PET image) and the motion, so that one can potentially obtain motion-free PET images with the full data set (which grants high SNR). At present the algorithm estimates the motion from standard PET-image reconstruction methods and then uses the estimated motions in the full-data-set reconstruction algorithm. It would be valuable to explore whether an iterative algorithm intertwining the update of the motion estimation, while the activity image is kept frozen, and the update of the activity with frozen motion could give better quality reconstructions.
Handledare:
Ozan Öktem och Jevgenija Rudzusika och Emanuel Ström
- M-MLEM with LPD instead of MLEM.
PET (Positron Emission Tomography) is a medical imaging modality that reconstructs the 3D distribution of metabolic activity or the perfusion of blood or oxygen by detecting photons emitted during the in vivo annihilation of free electrons with positrons from an injected radioactive tracer. In principle, cancer lesions will be visible in the reconstructed image with high contrast compared to the surrounding healthy tissue thanks to their particular metabolic fingerprints (for example, higher sugar metabolism).
In order to obtain information about the point of emission electronic collimation is used: Photons are paired based on timing coincidence and the emission point is then assumed to lie on the line joining the points of detection of the two photons on the detector (which is usually cylindrical in shape).
One issue with PET scans is that they require a substantial acquisition time in order to give images with acceptable (for diagnosis) signal-to-noise ratio (SNR). This leads to motion artefacts that can substantially lower lesions contrast-to-noise ratio (CNR) and therefore the diagnostic power of PET images.
Our group has developed an algorithm, the Morphed Maximum Likelihood Expectation Maximisation (M-MLEM), that can simultaneously reconstruct the 3D activity distribution (i. e. the PET image) and the motion, so that one can potentially obtain motion-free PET images with the full data set (which grants high SNR). At present the algorithm estimates the motion from standard PET-image reconstruction methods and then uses the estimated motions in the full-data-set reconstruction algorithm. The algorithm for estimating the PET image is the Maximum Likelihood Estimation Maximisation (MLEM), which is the standard algorithm for PET-image reconstruction in clinical practice. On the research level, there exists algorithms giving better image quality than MLEM, in particular, our group has developed the Learned Primal Dual (LPD) algorithm that yields images of way better quality than MLEM and has a manageable training “cost”.
In this project the students will implement a morphed version of the LPD algorithm and compare its performance to that of M-MLEM.
Handledare:
Ozan Öktem och Jevgenija Rudzusika och Emanuel Ström
- Scale up LPD for PET to clinical data.
The Learned Primal Dual algorithm is a very successful algorithm for 3D image reconstruction developed in our group. The algorithm has been used for image reconstruction in different modalities and has proven to be extremely efficient. Our group has implemented and tests LPD on a pre-clinical miniPET system and we want now to scale up the method in order to reconstruct clinical images. We have both a well documented and reliable software-development platform and we also have access to a substantial amount of clinical data for training. The challenge is to make find training strategies that are suitable to the very large size of the problem.
Handledare:
Ozan Öktem och Jevgenija Rudzusika och Emanuel Ström
- Kärna-periferi detektering av data. FULLBOKAT
Detta projekt handlar om dataanalys, och speciellt hur man kan klassificera delmängder av datan som periferi och kärna. För små datamängder kan det vara enkelt att identifiera periferi (t.ex Stockholms tunnelbana är de yttre stationerna periferi och ungefär allt inom tullarna är kärnan) men i större datamängder är detta svårt och måste göras algoritmiskt med en matematisk beskrivning av problemet. Till exempel är motsvarande kärna-periferi-detektering mycket svårare för datamängden "Internet 2006" som motsvarar strukturen och kopplingarna av servrar/routrar på internet 2006. Utgångspunkten för detta projekt är forskningsartikeln "A nonlinear spectral method for core-periphery detection", SIAM journal of mathematical data science, 2019. Studenter uppmuntras leta datamängder själva.
- Fler projekt läggs till vid behov.
