Populärvetenskaplig sammanfattning av min forskning
Inom matematik, liksom inom naturvetenskap, är det viktigt att systematisera och klassificera. Ett moduliproblem handlar om klassificering av geometriska objekt. Det kan t ex vara linjer i ett plan eller kurvor. Till ett sådant problem söker vi en geometrisk lösning, ett modulirum, där varje punkt i modulirummet motsvarar en klass av objekten. Ofta har objekten man klassificerar symmetrier. För att då kunna lösa moduliproblemet, behöver vi låta modulirummet vara en så kallad stack som har en mer komplicerad geometrisk struktur.
Modulirummet M av trianglar är självt en triangel. Eftersom likbenta och liksidiga trianglar har symmetrier, krävs "stackighet" längs randen (markerad röd och blå) för en korrekt beskrivning av modulirummet.
En stor del av min forskning behandlar moduliproblem och teorin för stackar. Genom att knyta ihop teorin för stackar med en till synes helt annan del av matematiken, monoidala kategorier, har jag utvecklat verktyg för att lösa moduliproblem som tidigare var olösliga. Med hjälp av monoidala kategorier har jag även givit en precis beskrivning av den lokala geometriska strukturen hos stackar som tidigare saknats. Detta har ett stort antal tillämpningar i moduliteori, till exempel vet vi nu att många modulistackar har så kallade goda modulirum och vi kan beräkna invarianter av dessa modulistackar. Andra exempel på tillämpningar är inom algebraisk K-teori, härledda kategorier, ekvivariant geometri (Białynicki-Birula uppdelning) och geometrisk invariantteori (Kirwan desingularisering).
En annan viktig del av min forskning rör birationell geometri av Deligne–Mumford stackar. Det är här frågan om att modifiera stackar på ett kontrollerat sätt för att kunna jämföra snarlika stackar. För detta ändamål har jag utvecklat stackiga uppblåsningar som kan användas för att både sluta till stackar (ungefär som man sätter på locket på en burk) och ta bort och lägga till ”stackighet”: det som utgör skillnaden mellan klassiska geometriska objekt och stackar.
Utförligare beskrivning av mitt forskningsområde
Geometri är kombinationen av ett globalt objekt (ett topologiskt rum) tillsammans med en lokal struktur. Till exempel ser sfären lokalt ut som det euklidiska planet: jorden ser platt ut. Sfären kan ges många olika geometrier (differentialgeometri, Riemanngeometri, komplex geometri, algebraisk geometri) vilka skiljer sig åt genom den lokala strukturen.
I algebraisk geometri ges den lokala strukturen av polynomekvationer. Med fokus på de algebraiska aspekterna möjliggörs utvidgningar av begreppet geometri till områden som vid en första anblick inte förefaller vara geometriska. Till exempel kan mängden av primtal betraktas som en kurva. Detta har gett upphov till ett rikt utbyte av idéer mellan algebraisk geometri, komplex analys, talteori och teoretisk fysik.
Mitt huvudsakliga forskningsområde tillhör den del av den algebraiska geometrin som brukar benämnas moduliteori. Detta område har sin bakgrund i försöken att klassificera en given typ av objekt. Det kan till exempel handla om att klassificera kvadratiska former eller kurvor (dvs Riemannytor i komplex analys). I många fall visar det sig att de givna objekten på ett naturligt sätt utgör punkterna i ett nytt geometriskt objekt, det så kallade modulirummet. Genom att studera geometrin av detta rum så ges ny insikt om de objekt man klassificerar.
De senaste trettio åren har moduliteori attraherat ett stort intresse inom algebraisk geometri, inte minst genom influenser från fysik och strängteori. Ett exempel på en till synes enkel fråga som länge hade gäckat algebraiska geometriker är ”Hur många rationella kurvor i planet av given grad passerar genom n stycken givna punkter?”. Denna fråga fick en elegant lösning av Kontsevich 1994 genom studiet av snitt-teori på modulirummet av stabila avbildningar.
Det är sedan femtio år känt att moduliteori på ett naturligt sätt beskrivs i termer av stackar. Att använda stackar är nödvändigt då stackar, till skillnad från algebraiska varieteter, tar hänsyn till symmetrier hos objekten i moduliproblemet.
I min forskning om moduliproblem och stackteori har jag bland annat
- beskrivit stackar med hjälp av monoidala kategorier;
- beskrivit den lokala strukturen hos stackar i termer av gruppverkningar;
- konstruerat en algoritm som med hjälp av uppblåsningar reducerar stackar med oändliga symmetrigrupper till ändliga symmetrigrupper;
- visat att många moduliproblem har en lösning;
- visat att den härledda kategorin av många stackar är kompakt genererad;
- visat att oändligtdimensionella stackar kan approximeras av ändligtdimensionella stackar;
- studerat birationell geometri hos Deligne–Mumford stackar genom stackiga uppblåsningar och visat att det existerar kompaktifieringar, destackifieringar och svaga faktoriseringar; samt
- studerat grova modulirum.