Navigation: [teori] | [övningar] | [deriveringsverktyget] | [upp]

1  Förändringshastighet

Uppgift 1: s=400 t=5km/h

Medelhastighet= vm=Δ s/Δ t=400/5=80 km/h

Uppgift 2: N(t)=80+1,4t2 Genomsnittliga tillväxthastigheten från t=2 till t=4.
Δ N/Δ t=N(4)−N(2)/4−2=[ 80+1,4(4)4 ] − [ 80+1,4(2)4 ]/2=233,6/2=116,8

2  Gränsvärde

Uppgift 1: Bestäm f(x)=limx → 4 16−x2/4−x
limx → 4 16−x2/4−x=limx → 4(4−x)(4+x)/4−x=limx → 44+x=4+(4)=8

Uppgift 2: Bestäm f(x)=limx → 2 x2−4/x−2
limx → 2 x2−4/x−2=limx → 2(x+2)(x−2)/x−2=limx → 2x+2=(2)+2=4

Uppgift 3: Bestäm f(x)= limh → ∞ (4+3/h )
limh → ∞ (4+3/h)= limh → ∞ 4+(3/∞ )=4+(0)=4

3  Derivatans definition

Uppgift 1: Derivera f(x)=3x2−6x f′(4)=limh → 0f(4+h)−f(4)/(a+h)−(a)

limh → 0[ 3(4+h)2−6(4+h) ] −[ 3(4)2−6(4) ]/a+h−a

limh → 0[ 3(16+8h+h2)−24−6h) ]−[3(16)−24]/h

limh → 0[ 48+24h+3h2−24−6h−48+24 ] /h

limh → 03h2+18h/h=limh → 0 h(3h+18)/h

limh → 03h+18=3(0)+18=18

Uppgift 2 f(x)=2x2+12x f′(10)=limh → 0f(10+h)−f(10)/(10+h)−(10)

f′(10)=limh → 0[2(10+h)2+12(10+h) ]−[ 2(10)2+12(10)h ] /h

f′(10)=limh → 0 [2(100+20h+h2)+(120+12h)]−[200+120]/h

f′(10)=limh → 0 200+40h+2h2+120+12h−200−120/h

f′(10)=limh → 040h+2h2+12h/h=limh → 0 h(40+2h+12)/h

f′(10)=limh → 040+2h+12=52+2(0)=53

Uppgift 3 f′(x)=limh → 0(3+h)2−25−[32−25]/h a=3 från att 3 tar platsen som variabeln x borde ta i derivatans definition.

f′(x)=x2−25

4  Polynomekvationer

Övning 1:
Derivera y=3x.
Lösning:
Ett tydligare sätt att uttrycka funktionen är
y=3x1.
Eftersom vi nu vet exponenten kan vi använda potensregeln för att beräkna derivatan
y′=3 · 1x0.
Eftersom x0=1 blir derivatan
y′=3.
Enligt formeln
y=ax1⇒ y′=a
Svar: Derivatan av y=3x är y′=3.
Övning 2:
Derivera f(x)=5x2+x+6.
Lösning: Använder potensregeln
f′(x)=5 · 2x+x0+6+0x−1.
Det här kan förenklas till
f′(x)=10x+1
Svar: Derivatan av f(x)=5x2+x+6 är f′(x)=10x+1.
Övning 3:
Derivera g(x)=a7+7a−8a3−2a.
Lösning:
Vi börjar med att ta de termer med högst exponent längst åt vänster för bättre översikt
g(x)=a7−8a3+7a−2a
Vi använder nu potensregeln
g′(x)=7a6−8 · 3a2−7a+2a
Vilketkan förenklas som
g′(x)=7a6−24a2−5a.
Svar: Derivatan av g(x)=a7+7a−8a3−2a är g′(x)=7a6−24a2−5a.

5  Exponentialekvationer

Övning 1:
Derivera y=123x−38x.
Lösning: y′=3 · ln(12)· 123x− 8 · 38x
Övning 2:
Derivera y=45x−39x+8x.
Lösning:
y′=5 · ln(4) · 45x− 9 · ln(3) · 39x+ 1 · ln(8) ·8x
Vilket kan förenklas till
y′=5 ln(4) 45x− 9 ln(3) 39x+ln(8) 8x.
Svar: Derivatan av y=123x−38x är y′=5 ln(4) 45x− 9 ln(3) 39x+ln(8) 8x.

6  Naturliga logaritmekvationer

Övning 1:
Derivera y=ln(x2).
Använder deriveringslagen för ln
y′= 1/x2 · 2x.
Vilket kan skrivas som
y′= 2x/x2.
Förenklat blir det
y′= (2/x).
Svar: Derivatan av y=ln(x2) är y′= (2/x).
Övning 2:
Derivera y=ln(6x3/2x).
Använder potensreglerna
y′=ln(3x2).
Använder deriveringslagen för ln
y′= (1/3x2·6x).
Vilket kan skrivas som
y′= (6x/3x2)
Förenklat blir det
y′= (2/x)
Svar: Derivatan av y=ln(6x3/2x) är y′= (2/x).
Övning 3:
Derivera y=ln(2x3 · 5x5).
Använder potensreglerna
y=ln(10x8)
Använder deriveringslagen för ln
y′= 1/10x8 · 80x7
Vilket kan skrivas som
y′= 80x7/10x8
Förenklat blir det
y′= 8x7/x8
Använder potensreglerna
y′= 8/x
Svar: Derivatan av y=ln(2x3 · 5x5) är y′= 8/x.

This document was translated from LATEX by HEVEA.