Hur långt ut i Universum kan vi se?

av Harald Lang

    Kalkylerna

Rummet expanderar ju, och expansions­hastigheten mäts med en parameter som kallas Hubble-parametern H(z). Den varierar i tiden, alltså är olika vid olika tid­punkter. Utgångs­punkten för kalkylerna är just denna funktion. I ett platt universum ges den av

där ω = tätheten av materia, ungefär = 0,27, λ = kosmoligisk konstant, ungefär = 0,73, och 1/H0 ungefär =13 775 miljoner år.

Här är ges H0 i storheten 1/tid. Om H0 är 71 km per sekund per mega-parsec, så motsvarar det att 1/H0 = 978/71 miljarder år, ty 1 megaparsec per år motsvarar 978 miljarder kilometer per sekund. Den här formeln tar vi som utgångs­punkt, den kommer från den kosmologiska modellen. Låt oss nu bestämma sambandet mellan tiden t och röd­förskjutningen z. Betrakta två tidpunkter t+dt och t (bakåt i tiden från idag) med ett litet tidsavstånd dt emellan, vars motsvarande röd­förskjutningar är z+dz och z. Vi tänker oss en foton som emitteras vid tiden t+dt och färdas mot oss. Litet senare, vid tiden t, har rummet expanderat något, närmare bestämt med faktorn (1+H(z)dt), enligt definitionen på H(z). Det gör att fotonens våglängd också förlängts med denna faktor. Nu fortsätter fotonen mot oss, och under den återstående tiden förlängs våglängden med faktorn (1+z). När fotonen når oss har våglängden alltså totalt multiplicerats med (1+H(z)dt)(1+z). Men å andra sidan har ju våglängden multiplicetars med
(1+z+dz). Alltså har vi likheten

(1+H(z)dt)(1+z) = (1+z+dz),

som ger dz = (1+z)H(z)dt, eller

Vänsterledet tolkar vi som en derivata, och de som känner till sambandet mellan derivator och integraler inser nu att vi får fram sambandet "tid uttryckt i röd­förskjutning" t=t(z) genom att integrera uttrycket ovan:

vilket alltså går att beräkna till den formel vi såg tidigare.

För att få fram sambandet mellan avståndet nu ("co-moving distance") och röd­förskjutningen z multiplicerar vi likheten dz = (1+z)H(z)dt vi hade ovan med ljus­hastigheten c: c·dz = c·dt·(1+z)H(z). Avståndet mellan de två punkterna där fotonen befann sig vid tid­punkterna t+dt och t var då, vid den tiden, uppenbarligen c·dt, men nu har det avståndet expanderat med faktorn (1+z), och är alltså c·dt·(1+z) = ds. Här betecknar alltså ds avståndet idag mellan dessa två punkter. Nu kan vi alltså skriva

c·dz = c·dt·(1+z)H(z) =ds·H(z), dvs

Återigen tolkar vi vänsterledet som en derivata: derivatan av avståndet idag map. röd­förskjutningen z, och vi integrerar för att erhålla s uttryckt i z, s=s(z):

Men den här gången måste integrationen göras numeriskt.

  
 

In English

Åtminstone en del av oss fascineras av de avstånd och tidsrymnder som förekommer i universum. Hur gammalt är universum? Hur långt bort är ett objekt vars röd­förskjutning z är 3,0 t.ex. Hur långt ut kan vi se, och hur långt ut kan vi någonsin över huvud taget se? Jag skall i den här artikeln något ta upp dessa saker.

Till att börja med är det viktigt att specificera vilken matematisk modell vi räknar i. Jag utgår ifrån den Big-Bang-modell som det numera råder i stort sett consensus om. Rummet expanderar; ett avstånd som vid en tidigare tidpunk t var D längd­enheter är idag längre: D(1+z) längd­enheter. Talet z kallas "röd­förskjutningen", eftersom också fotoner (ljus) tänjs ut i samma grad: ljus som vid tiden t hade våglängden λ har idag "röd­förskjutits" och har våglängden λ(1+z).

Det finns alltså en entydig korrespondens mellan tid t och röd­förskjutning z. Det är enklast att räkna tiden baklänges, så att "nu" är tiden t=0 och motsvaras av z=0, och tiden t="665 miljoner år" är för 665 miljoner år sedan och motsvaras av av z=0.05. Det är ofta enklare, matematiskt, att använda z som parameter i stället för tiden; dvs. man kan prata om att vid tiden z=10 så förhöll det sig på det eller det viset. När vi ser en avlägsen galax är det lätt att bestämma röd­förskjutningen z, så vi kan säga att det ljus vi ser emitterades vid "tiden" z. Astronomer använder sällan "tid" utan i stället röd­förskjutningen z. Innan jag går vidare med härledningar presenterar jag det tyvärr något krångliga sambandet mellan tid och röd­förskjutning:
Tiden t =

miljoner år (Här har jag använt aktuella värden på parametrarna i modellen; se rutan här bredvid.) Det här går att räkna ut på en "scientific" miniräknare; "sinh" står för "sinus hyperbolicus", och vi behöver alltså inversen för den. På min räknare trycker man först på "hyp" och sedan på inversa sin. För små värden på z, säg z <0,05, är det enklare att använda approximationen

t = 13 774,6 z – 9 676,7 z2

Nu kan vi alltså räkna ut när ljuset från en galax med z=0,05 sändes ut; antingen med den approximativa formeln eller den mer exakta. Vi ser att det är ungefär 665 miljoner år sedan. Ser vi en galax med z=5 räknar vi ut att det ljus vi ser sändes ut för 12,47 miljarder år sedan, alltså när universum var helt ungt. Ty vi kan också se hur gammalt universum är, alltså tiden till Big Bang: då var ju z i princip oändligt stor, så åldern blir

miljoner år, dvs. 13,67 miljarder år.

Avstånd

När det gäller avstånd i ett expanderande universum blir det litet oklart. Vad skall man egentligen mena? Antag att vi tittar på en galax med z=1, dvs. ljuset sändes ut för 7,73 miljarder år sedan. Hur långt bort är den galaxen idag? Inte 7,73 miljarder ljusår, för medan ljuset har färdats mot oss har rummet expanderat, så den befinner sig betydligt längre ut än den sträcka som fotonen har tillryggalagt. "Avståndet nu" kallas ibland "co-moving distance", för det är det avstånd man tänker sig att galaxen har om den följer med rummets allmänna expansion. Formeln för avståndet nu, s, ges exakt av en integral som inte kan uttryckas med elementära funktioner, men som går att numeriskt beräkna; jag skiver upp den i rutan här bredvid. Man finner då att galaxen med z=1 nu befinner sig på 10,82 miljarder ljusårs avstånd. En galax med z=2 befinner sig på 17,11 miljarder ljusårs avstånd. Avståndet i ljusår kan alltså överstiga universums årder i år! Vad siffran betyder är den här: Antag att galaxen idag skickar ut en foton mot oss, och att vi samtidigt fryser universums expansion, så att rummet inte expanderar. Då skulle det ta 17,11 miljarder år för den fotonen att nå oss, dvs. vi skulle se den först om 17,11 miljarder år.

Man kan fråga sig hur långt ut vi kan se. Vi kan inte se längre bakåt än z = (oändligt stor), vilket motsvarar fotoner som emitterades strax efter Big Bang. Sätter vi in detta värde i integralformeln för s får vi s=47,5 miljarder ljusår. De objekt som idag ligger längre ut än så kan vi alltså för närvarande inte se, och enligt relativitets­teorin inte få någon som helst kontakt med. "Vårt" universum idag är alltså ett klot med oss i centrum och radie 47,5 miljarder ljusår.

Hur långt kommer vi någonsin att kunna se? Kan vi se (i princip) ett objekt som ligger på, säg, 70 miljarder ljusårs avstånd från oss idag, om vi väntar tillräckligt länge? Svaret är nej! Det universum vi någonsin kan komma i kontakt med har radien ungefär 63 miljarder ljusår! Det kan vi se ur integral­formeln för s genom att integrera från z=-1 till z =

Värdet z=-1 representerar tiden när expansionen växer mot oändligheten, och vi alltså blickar oändligt långt fram i tiden. Det ger s=63 miljarder ljusår, ungefär, och är alltså så långt vi någonsin kan se.

Det här beror helt och hållet på den "kosmologiska konstanten", eller den "mörka energin", som man i bland kallar den. Observera att detta är någonting helt annat än den "mörka materia" som man också anser finns och finns beskrivet på många ställen. Men det faktum att den kosmologiska konstanten finns — dvs. är positiv och inte noll — gör att "universum för oss" är ändligt, vilket det inte skulle vara annars.

Jag tycker införandet av den kosmologiska konstanten har en avgörande filosofisk betydelse. För några år sedan antog man i modellen att den var noll, och det var då mening­sfullt att filosofera över universums totala struktur, eftersom vi i princip kunde komma i kontakt med alla delar av universum, om vi bara väntade tillräckligt länge. Men med en positiv kosmologisk konstant blir alla sådana resonemang rent filosofiskt på sätt och vis meningslösa. Om modellen stämmer är allt som ligger utanför en radie på 63 miljarder ljusår för alltid oåtkomligt för observationer, så det är omöjligt att ens tänka sig att man skulle kunna verifiera någon som helst hypotes om hur universum beter sig där. Utanför denna radie existerar inte universum för oss.