Observera att en funktion f(z) som har en Laurentutveckling med oändlig principaldel inte nödvändigtvis har en väsentlig singularitet.

Sådana utvecklingar existerar istället ofta i ett ringformat område av typ
r₁ < | z - z_o| < r₂ ( r₁ > 0 ). Utvecklingscentrum z_o ligger då på ett positivt avstånd från detta område och är inte nödvändigtvis en väsentlig singulär punkt till f(z).

Ex:

f(z) = 1/z + z/(z-1) = 1/z + 1/(1-1/z) =

1/z + 1 + 1/z + 1/z² + 1/z³... = 1 + 2/z + 1/z² + 1/z³... .

Denna Laurentutveckling gäller i området |z| > 1 och alltså inte i en punkterad omgivning av 0.
z=0 är alltså inte nödvändigtvis en väsentlig singularitet.

I en punkterad omgivning av 0 gäller istället:

f(z) = 1/z - z/(1-z) = 1/z - z(1 + z + z² + ...) = 1/z - z - z² - z³ - ... .

Det är alltså denna utveckling som avses i definitionerna av pol och väsentlig singularitet. (Se definitionerna igen.!)

Här ser man att z = 0 är en singularitet till f(z) (pol av 1:a ordningen), men inte en väsentlig singularitet .

Sammanfattningsvis:

Det är Laurentutvecklingen i det innersta området, närmast singulariteten, som ger information om singularitetens karaktär.

En väsentliga singularitet z_o kännetecknas som nämnts av att Laurentutvecklingen i detta innersta område omkring z_o innehåller obegränsat stora negativa potenser

Ex: f(z) = e^1/z = 1 + 1/z + 1/z² + ... gäller för |z| > 0.
( Detta beror på att MacLaurinutvecklingen för e^t konvergerar för alla t.)
Högerledet är här Laurentutvecklingen av f(z) omkring den väsentligt singulära punkten z_o = 0.