2C.1 : Kvadratkomplettering.

Man märker snart att det som är intressantast då det gäller resultatet av en kvadratkomplettering : (x-a)2 + b är tecknat på den kvarblivna konstanttermen b.

I fallet
(x-1)2 - 1 är denna term negativ, vilket bl.a medför att motsvarande andragradsekvation (x-1)2 - 1 = 0 har reella rötter.

Däremot:
(x-1)2 + 1 = 0 har inga reella rötter , vilket beror på att högerledet alltid är > 0. Man kan också utläsa av uttrycket (x-1)2 + 1 att det har minimumvärdet 1 då x = 1.

Om man sätter dessa två uttryck i nämnaren och alltså bildar funktionerna

f(x) = 1/((x-1)2 - 1) resp.

g(x) = 1/((x-1)2 + 1)

finner man en dramatisk skillnad i funktionernas grafer som beror på att nåmnaren i fallet y=f(x) har nollställen i x= 0 och 2 :

(y = f(x) : röd och y=g(x) : grön).

2C.2 : Polynomekvationer.

Som tidigare nämnts hittade italienska matematiker redan under 1500-talet allmänna lösningsformler för tredje- och fjärde-gradsekvationerna. Det är del Ferro (1465-1526) resp. Ferrari (1522-1565) som brukar tillskrivas dessa upptäckter.

Här till vänster finns en länk som leder till allmänna formeln för tredjegradsekvationen samt ett exempel på dess användning.
Det märkliga med denna formel är att den egentligen kräver komplexa tal för att kunna tolkas. Den innehåller nämligen en storhet D som för många ekvationer visar sig vara negativ och som lösningsformeln kräver att man skall dra kvadratroten ur.
Detta gav upphov till mycket huvudbry, men vissa matematiker, däribland Cardano, visade sig kunna använda formeln utan att egentligen förstå den.
Man anser numera att detta plötsliga behov av komplexa tal var den starkaste drivkraften för att införa och studera dessa tal i matematiken, vilket skedde först på 1700-talet i större skala. Bl.a införde L. Euler, 1707-1783, då beteckningen 'i' för 'roten ur -1' , som vi är vana vid.



Mycket ansträngningar lades därefter ned på att försöka lösa femtegradsekvationen och högre grads ekvationer.

Ingen lyckades dock, vilket norrmannen Nils Henrik Abel (1802-1829) kunde förklara genom att bevisa den principiella omöjligheten av att uttrycka allmänna lösningarna till femtegradsekvationerna och högre medelst rötter av typ 'n:e roten ur', (samt de vanliga räknesätten +,· och /).

Några länkar till detta lämnas om detta ganska dramatiska skede av matematikens historia här till höger.

Tredjegradsekvationen

Först inser man att den allmänna tredjegradsekvationen

(1)     az3 + bz2 + cz + d = 0

kan reduceras till formen

(2)     x3 + px + q = 0

genom substitutionen z = x - b/(3a).

Så det räcker alltså att ange lösningen till ekvation (2).

Inför nu beteckningarna

      D = (p/3)3 + (q/2)2.

      (*)             och

      (**)      .

De tre rötterna x1, x2 och x3 kan då uttryckas på följande sätt:

Detta visades troligen först av den italienske matematikern del Ferro (1465 - 1526).

Exempel:

x3 - 6x + 4 = 0

Här är p = -6, q = 4 samt D = (-6/3)3 + (4/2)2 = -8 + 4 = -4.

Uttrycken under tredjerötterna i (*) och (**) ovan kan därför skrivas -2 + 2i resp. -2 - 2i.

Nu kräver lösningsformeln att man drar tredje roten ur dessa komplexa uttryck, något som 1500-talsmatematikerna hade stora problem med.

(De hade dessutom egentligen inte upptäckt de komplexa talen än och skrev inte som vi gör
'i' för ' roten ur -1'.)

I detta exempel kan man dock komma vidare genom att observera att

(1+i)3 = -2 +2i och (1-i)3 = -2-2i.

Man får därför faktiskt: u = 1 + i och v = 1 - i , varav

x1 = 2,

x2 = -1 + i2 = -1 -      samt

x3 = -1 - i2 = -1 + .

Som synes har ekvationen tre reella rötter.
Men det krävdes en utflykt in i de komplexa talen för att komma fram till dem.

Tillbaks till Avsnitt 2C.2.