Vektorkapitlet är uppdelat i följande avsnitt:

3.1  Introduction to Vectors (Geometric).

3.2  Norm of a Vector, Vector Arithmetic.

3.3  Dot Product; Projections.

3.4  Cross Product.

3.5  Lines and planes in 3-Space.

3.1  Introduction to Vectors

Kapitel 3 behandlar vektorer, en typ av objekt som närmast kan betraktas som riktade sträckor. I avsnitt 3.1 introduceras vektorerna på detta sätt. Notera beteckningssättet som avser den vektor som har sin startpunkt i A och sin ändpunkt i B. A och B är alltså här punkter (i ex.vis planet eller 3-dimensionella rummet). I planet eller rummet representeras en vektor naturligen av en pil som ju både har en given längd och en given riktning. Den vanligaste beteckningen för en vektor i denna kurs är annars u, v osv. En vektors komponenter kan ses som de koordinater vektorns ändpunkt har om startpunkten är origo. Skrivsättet v = (v1, v2, v3) anger att vektorn v har komponenterna v1, v2 och v3, i den ordningen. (I början av avsnitt 3.1 exemplifieras mest med 2-dimensionella vektorer). Om punkterna A och B ovan har koordinaterna (a1,a2) resp. (b1,b2) kan vektorn skrivas (b1 - a1 , b2 - a2) på komponentform. Observera de två viktiga vektoroperationerna addition och multiplikation med skalär (skalär = tal) samt dessas geometriska tolkning. I tolkningen av vektoraddition framträder vektorernas egenskap att vara flyttbara då man lägger den ena vektorns startpunkt i den andra vektorns ändpunkt.

Begrepp Vektorer och skalärer, s. 117 Vektorsumma u+v och skillnad u-v, s. 118-119 Produkt med skalär ku, s. 119 Koordinatsystem och komponenter, s. 120 Vektoroperationerna på komponentform, s.120-123

3.2  Norm of a Vector; Vector Arithmetic

Theorem 3.2.1 listar de viktigaste algebraiska reglerna för de operationer som infördes i avsnitt 3.1. På s. 128 införs begreppet norm för en vektor. Normen för u, , tolkas geometriskt som längden av u och blir alltså i termer av u:s komponenter (enligt Pytagoras!),     =   Om u är en 3-dimensionell vektor får formeln ett motsvarande utseende med den extra termen u32 under rottecknet.

Satser och begrepp Thm 3.2.1: Lista på algebraiska regler för vektoroperationer. Norm, s. 128 Enhetsvektor (unit vector), s.129

3.3  Dot product; Projections

Här införs det viktiga begreppet skalärprodukt (dot product). Definitionen, nederst på s. 131 är: (1)         u.v   =   Här är vinkeln naturligtvis vinkeln mellan de båda vektorerna. Denna definition leder nu till följande enkla formel (m.hj.a. cosinusteoremet, se s.132) på komponent form. (Vi antar att u = ( u1, u2 , u3) och v = ( v1, v2, v3) ) (2)        u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 Motsvarande formler gäller som vanligt i 2 dimensioner. Ur dessa definitioner följer en del egenskaper som relaterar skalärproduktens tecken till storleken på vinkeln mellan u och v (Thm 3.3.1): Positiv skalärprodukt svarar mot spetsig vinkel. Negativ skalärprodukt svarar mot negativ vinkel. Om skalärprodukten är 0, så är vinkeln rät, (dvs. vektorerna är ortogonala) Thm 3.3.2 listar några algebraiska regler för skalärprodukten. Resten av avsnitt 3.3 handlar om projektion. Boken definierar vektorn projau som projektionen av vektorn u längs vektorn a. Se figurerna på s. 136! Thm 3.3.3 visar hur projau kan bestämmas m.hj.a skalärprodukts- och normbegreppet. Lägg både märke till denna formel och till formeln för projektionens längd på s. 137-138.

Satser och begrepp Definition av skalärprodukt, s.131 Skalärprodukt på komponentform, s.133 Formeln för 'cosinus för mellanliggande vinkel', s.133 Thm 3.3.1:Vinklarna och skalärproduktens tecken Ortogonala vektorer, s.134 Thm 3.3.2: Några algebraiska regler för skalärprodukten Definition av projektion, s. 136 Thm 3.3.3: Projektionsvektorn i termer av skalärprodukt och norm Projektionsvektorns norm, s. 138 Avståndet mellan en punkt och en linje, s.138-139

3.4  Cross Product Definitionen av kryssprodukt ges i boken i tre likvärdiga versioner (två st på s. 141 samt en på s.144). Den på s. 144 är troligen den som är lättast att komma ihåg. Den bygger på det sätt att beräkna determinanter som ingår i avsnittet   2.4: Med denna determinantformel aktuell blir formeln för uxv nederst på s. 144 fullt begriplig. De tre enhetsvektorerna i, j och k förekommer i denna formel. De definieras överst på s. 144: i = (1,0,0),   j = (0,1,0) och k = (0,0,1) . Kryssprodukten uxv bildar alltså en ny vektor som är vinkelrät mot både u och v. På s. 145 förekommer en regel som försöker förklara åt vilket håll uxv pekar i förhållande till u och v. Regeln kallas där 'right-hand rule'. På svenska brukar man tala om skruvregeln som formuleras så här: Vi tänker oss först att u och v utgår från samma punkt och att en skruvriktning definieras av att u vrids i riktning mot v . uxv pekar åt det håll en (normalgängad) skruv rör sig då den skruvas i denna skruvriktning. Detta är samma regel som den som anger åt vilket håll z-axeln pekar i ett normalt 3-dimensionellt koordinatsystem. Här definieras skruvriktningen av att positiva x-axeln rör sig i riktning mot positiva y-axeln. Några algebraiska regler för kryssprodukten finns formulerade iThm 3.4.1 och 3.4.2. Notera särskilt att    uxv = -vxu. Dessutom är det värt att påpeka att associativitet int gäller allmänt, dvs. det är inte säkert att (uxv)xw = ux(vxw). Kryssprodukten har en hel del intressanta geometriska tolkningar. En sådan ges av formel (6) överst på s. 146: ||uxv|| = ||u|| ||v||sin Detta betyder alltså att ||uxv|| är lika med arean av den parallellogram som spänns upp av  u och v. Se figuren på s. 146. En annan viktig geometrisk tolkning tolkning har den s.k. skalära trippelprodukten u .(vxw), även kallad lådprodukten. Den, eller snarare dess belopp, ger nämligen volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna i produkten (se figur på s. 149). Lådprodukten har också den trevliga egenskapen att den kan skrivas som en determinant. u .(vxw) är nämligen lika med den determinant vars rader består av i tur och ordning u:s, v:s och w:s komponenter. (Se formel (7) på s. 147.) Ett viktigt specialfall får man då de tre vektorerna ligger i samma plan. I det fallet har ju den uppspända parallellepipeden volymen = 0. Därför får man att lådprodukten (dvs. determinanten som bildas av de tre vektorerna) = 0 om och endast om de tre vektorerna ligger i samma plan. (Thm 3.4.5).

Egenskaper och begrepp Kryssprodukten uxv (Tre versioner av definitionen. Se särskilt determinantvarianten på s. 144). Algebraiska lagar för uxv. (Thm 3.4.1 och 3.4.2) Observera att uxv = -vxu. Skruvregeln som bestämmer uxv:s riktning. (right-hand rule, s. 145). ||uxv|| = arean av den av u och v uppspända parallellogrammen. (Formel (6), s. 146). u .(vxw) = skalära trippelprodukten = lådprodukten, som kan skrivas som en determinant.(s. 147) |u .(vxw)| = volymen av den uppspända parallellepipeden (Thm 3.4.4). Lådprodukten = 0 (dvs. motsvarande determinant = 0) betyder att de tre vektorerna ligger i samma plan, (Thm 3.4.5)

3.5  Lines and planes in 3-Space.

Detta avsnitt visar hur ekvationerna för linjer och plan kan skrivas på vektorform. Ett plan kan med hjälp av sin normalvektor n beskrivas av ekvationer som de i formlerna (1) och (2) på s. 155, ekvation (3) i Thm, 3.5.1 , s. 156, och (kanske den mest användbara versionen): n .(r - r0) = 0      (ekvation (5), s. 158.) Här är vektorn r0 en konstant vektor som anger en punkt i planet. r är den variabla vektorn som anger en godtycklig punkt i planet. Ekvationen utsäger alltså att vektorn r - r0 (som ligger inbäddad i planet) och planets normalriktning n är vinkelräta. En linje bestäms entydigt av en punkt som ligger på linjen och av den riktning som linjen definierar. Båda dessa element kan beskrivas av vektorer: r0(punkten på linjen) och v (linjens riktning i form av en vektor). I boken anges linjens ekvation på parameterform, (7) på s. 159, där r0:s och v:s komponenter figurerar. I vektorformen: r - r0 = tv         (8), s. 161 uppträder vektorerna själva. En tillämpning som visas (Thm 3.5.2) är formeln för avståndet mellan en punkt och en linje i 3-dimensionella rummet. Som synes är formeln en direkt generalisering av motsvarande formel i 2 dimensioner från avsnitt 3.3 (s. 139).

Egenskaper och begrepp Planets ekvation på komponentform ( (2) s. 155 och (3) s. 156) vektorform n .(r - r0) = 0 ( (5), s.158 ) Linjens ekvation på parameterform ( (7), s.159 ) vektorform r - r0 = tv ( (8) s. 160) Formeln för avståndet mellan en punkt och en linje i 3 dimensioner.

Nästa avsnitt