De komplexa talen behandlas i kursboken i kapitel 10 samt i Kompletteringskompendiet, avsnitt 2.
I kursen ingår:

10.1  Complex Numbers

10.2  Modulus; Complex Conjugate; Division

10.3  Polar Form: DeMoivre's Theorem.

2. Polynomekvationer (i Kompletteringskompendiet, KK).

10.1  Complex Numbers

Vi gör alltså nu ett hopp i boken för att läsa om komplexa tal Komplexa tal är numera oundgängliga hjälpmedel i både ren och tillämpad matematik och bör alltså studeras med omsorg. I kursboken gås de viktigaste egenskaperna igenom i de tre första avsnitten av Kapitel 10. I 10.1 definieras de komplexa talen som ett ordnat par av tal, (a,b) som också skrivs a + bi. Här kallas a realdelen och b imaginärdelen. Talen visar sig fungera som 2-dimensionella vektorer i fråga om addition och subtraktion. Ett komplext tal kan alltså tolkas som en punkt i det komplexa planet. Vid multiplikation anges en lag (formel (4), s. 525) som enklast formuleras m.hj.a. räkneregeln i2 = -1 tillsammans med de vanliga reglerna som gäller för reella tal. Egenskaper och begrepp Komplext tal (def. s. 522) Real- och imaginärdel (s.523) Addition (s.524) och multiplikation (s. 525) av komplexa tal. Kom ihåg i2 = -1.

10.2  Modulus; Complex Conjugate; Division

Avsnittet börjar med att definiera begreppet konjugat: Om z =a + bi definieras z-konjugatet: = a - bi. Konjugering innebär alltså spegling i den reella axeln (x-axeln). Beloppet (Modulus) av ett komplext tal z = a + bi är: |z| = (a2 + b2)1/2 Beloppet är alltså lika med normen av motsvarande 2-dimensionella vektor (a,b). Thm 10.2.2 formulerar den viktiga egenskapen (som gör de komplexa talen till ett fungerande talsystem) att om z 0 så finns ett unikt komplext tal w som är invers till z, dvs. zw = 1. Division (utom med 0) är alltså tillåten. Det finns ett visst knep (förlängning med konjugatet) som används för att skriva om kvoter av komplexa tal till normalformen a + bi. Detta visas i Ex. 3, s.531, och bör studeras. I Thm 10.2.3 anges några räkneregler för z-konjugat. Egenskaper och begrepp = a - bi, z-konjugat, (s.528) Beloppet |z| av z (Modulus, s. 529). Varje komplext z0 har en unik komplex invers (Thm 10.2.2 ,s.530). Knepet att bli av med 'i' i nämnaren (ex.3 s.531) Regler för .

10.3   Polar Form; DeMoivre's Theorem

Här införs den viktiga polära formen för komplexa tal: z = r(cos + i sin) Detta skrivs ofta på exponentialform: z = ei     (12), s. 542 Den polära formen ger den bästa geometriska tolkningen av komplex multiplikation. Läs gärna Ex. 2 på s. 538 där multiplikation och division studeras m.hj.a. övergång till polär form. DeMoivre's formel visar hur potensuttryck som zn lätt kan återföras på normalform. Avslutningsvis visas hur man löser s.k. binomiska ekvationer: zn = w0 (z variabel, w0 konstant komplext tal). Det visar sig att rötterna till sådana ekvationer alltid bildar regelbundna n-hörningar i det komplexa planet. Egenskaper och begrepp Polär form, s. 536 DeMoivre's formel, s. 539 Binomiska ekvationer och deras lösning, s. 540+Ex.3,4 s. 541

2. Polynomekvationer (KK) Kapitlet börjar med att definiera begrepp som polynom, polynomfunktion och polynomekvation. Ett polynoms nollställen eller rötter är lösningarna till motsvarande polynomekvation. En metod att lösa andragradsekvationer med komplexa koefficienter ges i Exempel 2.1. Studera särskilt hur kvadratkomplettering används innan den nya variabeln w införs. Exempel 2.2 presenterar en algoritm för polynomdivision. Har du lärt dig en annan metod gör inte det något. Huvudsaken du behärskar någon metod. Polynomdivision gör det möjligt att steg för steg lösa en högre ordningens polynomekvation, bara man får kännedom om någon eller några rötter. Om z = w0 är ett nollställe till ekvationen P(z) = 0, kan man dividera P(z) med faktorn (z-w0) (resultat: P(z) = (z-w0)P1(z) ) och därmed få ett nytt polynom P1(z) av lägre grad och en ny enklare ekvation P1(z) = 0 att lösa. Satserna 2.3 och 2.4 sammanfattar fakta om polynomdivision (2.3) och sambandet mellan ett polynoms nollställen och dess faktorer (2.4). Notera definitionen av ett nollställes multiplicitet på s. 7. En rot w0 som har multipliciteten 2 (dvs svarar mot faktorn (z - w0)2 i polynomet) kallas också dubbelrot. Sats 2.5 är den klassiska Algebrans fundamentalsats som hävdar att varje ickekonstant polynom har minst ett komplext nollställe. Detta kombinerat med faktorsatsen 2.4 ger att varje polynom av grad n kan skrivas som en produkt av n st (om man räknar med multipliciteterna) faktorer av typ (z - cj). Därmed har varje n:egradspolynom exakt n st. komplexa nollställen (med multipliciteterna fortfarande inräknade). Detta formuleras i sats 2.6. I beviset av sats 2.6 används induktion, en metod som numera tyvärr har utgått ur kursen. I tillämpningar dyker oftast upp polynomekvationer med reella koefficienter. För sådana gäller den viktiga regeln att de ickereella nollställena alltid förekommer i konjugerade par. Dvs. om z = a + bi är ett nollställe så är också a - bi ett nollställe. (Sats 2.8). Detta leder till slutsatsen att ett reellt polynom kan skrivas som produkten av rella faktorer av högst andra graden. (Sats 2.10). Detta inses lätt då man betraktar det konjugerade nollställeparets motsvarande faktorer: (z-(a+bi))(z-(a-bi)) = ((z-a)-bi)((z-a)+bi) = (z-a)2 + b2, som ju är ett reellt uttryck.

Satser och begrepp Polynom, polynomekvation och nollställe. Metoden att lösa andragradsekvationer med komplexa koefficienter. Polynomdivisionsalgoritmen (Sats 2.3) Faktorsatsen (Sats 2.4) Multipliciteten hos ett nollställe. Algebrans fundamentalsats (Sats 2.5) n:egradspolynom som produkt av n st. faktorer. (Sats 2.6) För reella polynom bildar de ickereella nollställena konjugerade par. (Sats 2.8) Ett reellt ickekonstant polynom kan skrivas som produkten av reella faktorer av grad 1 eller 2. (Sats 2.10)

Nästa avsnitt