I kapitel 4.1-3 återupptar vi studiet av matriser men ser dem här huvudsakligen i rollen som linjära transformationer.
Ett avsnitt i kapitel 9 berör geometriska aspekter av linjära transformationer och ingår också i kursen:

4.1   Euclidean n-space

4.2   Linear Transformations from Rⁿ to R^m

4.3 Properties of Linear Transformations from Rⁿ to R^m.

9.2 Geometry of Linear Operators on Rⁿ

4.1 Euclidean n-space I kapitel 4 förekommer en hel del stoff som tidigare behandlats i 2 eller 3 dimensioner. Framförallt vektorbegreppet läter sig ju enkelt generaliseras till n dimensioner. Även skalärprodukt (här kallad 'euklidisk inre produkt' kan definieras i n dimensioner om definitionen sker på komponentform: u.v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn. Avsnittet ger i övrigt i stort sett en repetition av Kap. 3.1 - 3.3 men i n dimensioner. (Notera förresten att kryssprodukten inte låter sig generaliseras, den är bunden till 3 dimensioner.) Värda att lägga märke till är bl.a. några nya beteckningar: d(u,v) = ||u - v||, uttrycket för avståndet mellan punkterna u och v. Här är normen || . || definierad i n dimensioner på samma sätt som skalärprodukten (euklidiska inre produkten). Notera också de båda olikheterna Cauchy-Schwarz' olikhet (Thm 4.1.3) och triangelolikheten (Thm 4.1.5d), som båda kan formuleras i n dimensioner. I slutet av kapitlet förekommer några diskussioner som relaterar inre produkten till matrismultiplikation. Studera dels användningen av transponerade vektorer i uttrycken för inre produkter på s. 176 och dels matrisprodukten nederst på s. 177 där varje element i produkten är skriven som en inre produkt.

Satser och begrepp n-dimensionell vektor Euklidisk inre produkt (skalärprodukt) Norm i n dimensioner Euklidisk distans d(u,v) Cauchy-Schwarz' olikhet (Thm 4.1.3) Triangelolikheten (Thm 4.1.5d) Inre produkt och matrismultiplikation (s. 176-178)

4.2 Linear Transformations from Rn to Rm Detta ganska långa avsnitt innehåller dels en diskussion om linjära transformationer i allmänhet och dels en ingående genomgång av olika typer av enkla geomtriska transformationer (spegling, projektion, rotation m.m.) Till att börja med införs distinktionen mellan en mxn-matris A och den linjära transformation TA som A definierar. För att framhäva vilka rum transformationen TA agerar mellan brukar man skriva: TA : Rn -> Rm vilket betyder att TA transformerar vektorer från Rn till Rm Man kan också skriva TA(x) = Ax för att visa kopplingen mellan A och TA Om istället namnet T på transformationen är givet, kan man kalla motsvarande matris [T]. (s. 183) På sidorna 185 - 192 följer sedan genomgången av de enkla transformationerna och deras matriser. Detta beskrivs både i fallen T: R2 -> R2 och T: R3 -> R3. De transformationstyper som gås igenom listas här nedan i sammanfattningen. Notera att även den allmänna rotationsmatrisen (rotation vinkeln i positiv riktning omkring en axel definierad av vektorn (a,b,c) ) finns angiven överst på s. 191. Slutligen införs på s. 192 - 195 begreppet komposition av transformationer. När de linjära transformationer som definieras av matriserna A och B utförs efter varandra ( i den ordningen) har vi sett att den resulterande transformationen definieras av matrisprodukten BA Om vi istället resonerar i termer av transformationerna TA och TB behöver vi en beteckning för motsvarande sammansatta transformation. Man säger i det läget att man bildar kompositionen av TA och TB och skriver: TB °TA = TBA Ett annat sätt att definiera komposition är TB °TA(x) = TB(TA(x)) Som framgår på s. 195 kan man också definiera kompositioner av fler än två transformationer.

Egenskaper och begrepp Den linjära transformationen TA definierad av mxn-matrisen A: TA : Rm -> Rn. Matrisen [T] som definierar transformationen T. Reflektion omkring koordinataxlar (R2->R2 ) Reflektion omkring koordinatplan (R3->R3 ) Ortogonal projektion på koordinataxlar (R2->R2 ) Ortogonal projektion på koordinatplan (R3->R3 ) Rotation i planet (R2->R2 ) Rotation omkring en koordinataxel (R3->R3 ) Förminskning/förstoring med given faktor (R2->R2 och R3->R3 ) Begreppet komposition: TB °TA

 


4.3 Properties of Linear Transformations fromRn to Rm
I detta avsnitt genomgås några viktiga egenskaper hos linjära transformationer. 

Bl.a. karakteriseras  de linjära transformationerna på ett sätt som egentligen utgör den vanligaste
 definitionen av sådana transformationer:

Transformationen T är linjär om den uppfyller

T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u), där  u och v är vektorer och c en skalär.


(Theorem 4.3.2, s.203)

I början av kapitlet diskuteras också de viktiga begreppen  injektivitet och
 surjektivitet.

T är injektiv (eller enentydig, eng. one-to-one) om följande är uppfyllt:

Om x  y så gäller T(x)  T(y). 

Två olika vektorer kan alltså aldrig ha samma bild under en injektiv transformation.

Transformationen  T : Rn -> Rm är surjektiv  om T:s bilddomän (eng. range) utgörs av hela Rm.

Detta villkor formuleras längst ned på s. 200 utan att egenskapen ges något namn.

 
 
Det gäller nu för linjära transformationer T : Rn -> Rn, som alltså kan definieras av  kvadratiska ( nxn ) matriser, att om T är injektiv så är T också  surjektiv samt omvänt: om T är surjektiv så är T också injektiv.
Detta formuleras i Thm 4.3.1, s. 201 på så sätt att injektivitet och surjektivitet hos TA båda är ekvivalenta med inverterbarhet hos A.

Thm 4.3.3 beskriver ett sätt att finna standardmatrisen [T] för T : Rn -> Rm då T:s effekt på alla enhetsvektorer i  Rn, T(e1), T(e2), ..., T(en) ,  är kända.
Det visar sig att [T]:s kolumnar utgörs av bildvektorerna.  Eller som det uttrycks i satsen:

[T] = [ T(e1) | T(e2) | ...| T(en) ].
 

I Thm 4.3.4 adderas de ekvivalenta egenskaperna i Thm 4.3.1 hos kvadratiska matriser  till den längre lista på likaledes ekvivalenta egenskaper som förekommer i kursboken på flera ställen:  Se ex.vis Thm 1.6.4 och Thm 2.3.6.
 Denna växande lista på ekvivalenta egenskaper kan nästan sägas utgöra kursens röda tråd.

Avsnittet slutar med ett omnämnande av egenvärden och egenvektorer, vilket vi dock kan hoppa över eftersom dessa begrepp behandlas mer ingående i kapitel 7.





Satser och begrepp



Injektivitet hos T ('one-to-one')
Surjektivitet hos T (' the range of T is Rn')
Thm 4.3.1: Injektivitet och surjektivitet hos TA är var för sig ekvivalent med att A är inverterbar.
Thm 4.3.2: Karakterisering av en linjär transformation.
 Thm 4.3.3: [T]:s kolumner är bildvektorerna T(e1), T(e2), ..., T(en).
 Thm 4.3.4: Längre lista än i Thm 4.3.1 på ekvivalenta egenskaper hos kvadratiska matriser.


 
 


 



 

 
9.2 Geometry of Linear Operators on Rn
 
 Detta avsnitt är avsett att komplettera genomgången i kapitel 4 av de    geometriska av matristransformationer.

 Avsnittet berör uteslutande transformationer från R2   till R2.

Om man studerar effekterna av de tre typerna av  elementära matriser finner man följande:

Vi listar matrisen E, dess effekt på raderna vid matrismultiplikationen ER (som vid Gausselimination) samt den geometriska effekten av transformationen TE :  R2 -> R2.



Matristyp
Effekt på rader
Geometrisk effekt

 Raderna 1 och 2 byter plats
Reflektion omkring linjen y = x

Rad 1 multipliceras med konstanten k
Förstoring/förminskning i x-axelns riktning

 
Rad 2 -> 
Rad 2 + k. (Rad 1)
Skjuvning i y-axelns riktning (se nedan!)






Det nya här jämfört med kapitel 4 är alltså begreppet skjuvning (engelska shear) som beskriver vad de elementära matriserna av den tredje typen utför i termer av linjära transformationer.
 I kursboken pä s. 451 finns klargörande figurer som beskriver detta.
 Man vet sedan tidigare (Kap. 1.5, Thm 1.5.3) att inverterbara matriser A alltid kan skrivas som en produkt av elementära matriser.

Därför blir den geometriska effekten av en transformation TA densamma som en följd av elementära transformationer av de tre typer som listas ovan (reflektioner, förstoringar/förminskningar och skjuvningar).

Detta formuleras i Theorem 9.2.1.

I Theorem 9.2.2 formuleras hur multiplikation med inverterbaraa matriser påverkar linjer, parallella linjer och linjesegment.

Sammanfattningsvis gäller att punkter som före transformationen ligger på samma linje gör så även efter.

 




Satser och begrepp



Skjuvning som effekt av en elementär matris av typ 3.
Thm 9.2.1 Effekt av inverterbara matriser:

Reflektion, förstoring/förminskning och skjuvning.
Thm 9.2.2 Effekt av inverterbara matriser på linjer.

 

Nästa avsnitt