Kapitel 2 handlar om determinanter:

2.1  The Determinant Function.

2.2  Evaluating Determinants by Row Reduction.

2.3  Properties of the Determinant Function.

2.4  Cofactor Expansion; (Cramer's Rule.)

I avsnitt 2.4 ingår inte Cramer's regel i kursen.

2.1  The Determinant Function.

Här definieras determinanten för en kvadratisk matris A, det(A). Talet det(A) beräknas alltså som en summa av elementära produkter av A:s element där tecknet framför varje produkt bestäms av vilken sorts permutation (jämn (ger +) eller udda (ger -)) produkten svarar mot. Dessa begrepp förklaras närmare på s. 81-83. I figure 2 nederst på s. 83 ges en sorts grafiska räkneregler för beräkning av determinanter för 2x2- och 3x3-matriser. Man känner nu igen nämnaren ad-bc i uttrycket för inversen till en 2x2-matris (Thm 1.4.5 ,s.43) som en determinant. I specialfallet 2x2 gäller alltså att determinanten för A inte får vara 0 om inversen A-1 skall existera. Det visar sig senare att detta villkor gäller för alla kvadratiska matriser. Notera också påpekandet på s. 84 att definitionen av determinanten av en nxn-matris innehåller så mycket som n! ( = n.(n-1)...3.2.1 ) stycken termer. För någorlunda stora tal n blir detta ett oerhört stort uttryck som inte ens kraftfulla datorer klarar av på rimlig tid. Behovet är alltså stort av smidigare beräkningsmetoder för determinanter. En sådan metod visas också i avsnitt 2.2.

Begrepp Permutation och elementär produkt s.80-81 Determinant s.81

2.2  Evaluating Determinants by Row Reduction.

I Thm 2.2.1 ges några användbara determinantegenskaper: (a)Om A har en nollrad så är det(A) = 0. (b) det(A) = det(AT). I Thm 2.2.2 formuleras utgångspunkten för avsnittets metod att beräkna determinanter: Om A är en trappstegsmatris, är det(A) = produkten av diagonalelementen. Detta inses faktiskt så här lätt: Den enda elementära produkt (från en trappstegsmatris) som inte nödvändigtvis innehåller en nolla som faktor är produkten av diagonalelementen. P.g.a. Thm 2.2.2 verkar det som en rimlig metod att först med Gauss-elimination reducera matrisen till trappstegsform och sedan bestämma determinanten genom diagonalprodukten. Detta förutsätter dock att man i detalj vet hur de olika radoperationerna i Gauss-eliminationen påverkar matrisernas determinanter. Satserna Thm2.2.3 och 2.2.4 utgör en utredning av just detta problem. Sammanfattningsvis: (a) En rad (eller kolumn) multipliceras med k : det(A) -> k.det(A) (b) Två rader (eller kolumner) byter plats : det(A) -> -det(A) (c) Rad(i) -> Rad(i) + k.Rad(j) : Determinanten oförändrad. Dessa egenskaper ger tillsammans en användbar metod som visas i Example 5. Studera detta exempel! Som en följd av tidigare formulerade determinantegenskaper får man resultatet att om två rader (eller kolumner) i A är proportionella mot varandra (Rad(i) = k.Rad(j) ex.vis) så är det(A) = 0. (Thm 2.2.5 s.89). Den vanligaste metoden att beräkna 3x3-determinanter och större är dock den som beskrivs i avsnitt 2.4.

Satser och metoder Thm 2.2.1: Om A har en nollrad, så det(A)=0. det(A)=det(AT) Thm 2.2.2: Om A är en trappstegsmatris, så det(A)=diagonalprodukten Thm2.2.3-4: De tre elementära radoperationernas effekt på determinanten. Thm 2.2.5: Om A har proportionella rader, så det(A) = 0. Ex. 5: Metoden att bestämma determinanter genom reducering till trappstegsmatriser.

2.3  Properties of the Determinant Function.

Avsnittet handlar huvudsakligen om determinanter av matrisprodukter, det(AB). Först formuleras dock en räkneregel (överst på s. 93) som kan vara värd att lägga märke till: Antag att A är en nxn-matris. Då gäller: det(kA) = kndet(A) Här finns faktiskt en fallgrop. Det är lätt gjort att felaktigt sätta n=1 i högerledet. Relationen det(A+B) = det(A) + det(B) gäller inte. Studera dock Thm 2.3.1 som definierar en matris C som uppfyller det(C) = det(A) + det(B). Men C är som sagt inte A+B ! Thm 2.3.4 uttrycker den märkliga relationen det(AB) = det(A)det(B) Märklig, eftersom den på ett så enkelt sätt formulerar en likhet mellan två mycket komplexa uttryck. Försök gärna följa beviset för denna sats. Beviset bygger som synes på de elementära matriserna och deras determinantegenskaper. Ett mycket viktigt resultat som bevisas strax innan (Thm 2.3.3) är att villkoret   det(A) 0  är ekvivalent (likvärdigt) med en rad andra villkor för kvadratiska matriser, bl.a 'Ax = b har en unik lösning' och 'A är inverterbar'. Jämför Thm 1.5.3 (s.53) och Thm 1.6.4 (s.62) från förra kapitlet. Thm 2.3.6 i detta avsnitt ger samma lista som Thm 1.6.4 + det nya villkoret 'det(A) 0'. Avsnittet avslutas med en del fakta om egenvärden och egenvektorer. Detta kommer vi att studera mer ingående i Kapitel 7 och kan därför tills vidare hoppa över detta stycke.

Satser och metoder det(kA) = kndet(A) ,(överst s. 93). Thm 2.3.1: det(C) = det(A) + det(B) för några matriser C. Thm 2.3.3: A är inverterbar om och endast om det(A) 0. Thm 2.3.4: det(AB) = det(A)det(B) Thm 2.3.5: det(A-1) = 1/det(A) Thm 2.3.6: Listan på villkor som är ekvivalenta med 'det(A) 0',

2.4 (s. 101 - 104)  Cofactor expansion.

Här beskrivs den klassiska metoden att beräkna determinanter m.hj.a. kofaktorer. Metoden bygger på att man väljer ut en rad eller kolumn (helst en med många nollor i) och utför beräkningen längs denna rad/kolumn. Därvid använder man de mindre determinanter, underdeterminanter, som kan bildas då denna rad/kolumn har strukits. Det är dessa underdeterminanter, med tecken + eller -, som kallas kofaktorer. Kofaktorn som svarar mot matriselementet ajk får ett tecken som bestäms av (-1)j+k. Metoden illustreras av följande exempel där determinanten beräknas genom utveckling längs 1:a raden resp. 3:e kolumnen:

Nästa avsnitt