Projektlistan senast uppdaterad 2019-10-14.

Ämnesområde 1: Numeriska vågor

Vågor finns omkring oss överallt. Vattenvågor. Ljudvågor. Elektromagnetiska vågor. Gravitation. I denna typ av projekt kan du studera problem som beskrivs av vågor, som du får lösa med numeriska metoder och algoritmer.

Preliminära förslag:

• Dimensionering av vågkraftverksnät. Ett sätt att utvinna energi är att utnyttja vågkraft. Det kan göras med WEC-bojar (Wave Energy Converters). Dagens bojar är dock dyra att bygga och ger förhållandevis lite energi per boj. Men om man kan förutsäga hur vågorna kommer att se ut den närmaste tiden, finns det sätt att konstruera bojen så att energi-utvinningen per boj kan ökas avsevärt. Tyvärr är vågor svåra att förutse och modellera. Ett sätt är då att lägga ut flera WEC-bojar i närheten av varandra så att den yttersta bojen kan förvarna de inre bojarna när och hur vågorna kommer. I detta projekt får du lära dig om numeriska metoder för att simulera detta.
  Handledare: Ninni Carlsund Levin
• Numerik, kvantmekanik och flödesmekanik. Kan man effektivt simulera gasflöden genom att lösa ekvationer från kvantmekanik? I det här projektet undersöker vi den numeriska tillämpbarheten av en koppling mellan kvantmekanik och flödesmekanik. Närmare bestämt tittar vi på kopplingen mellan Gross- Pitaveskiis ekvation och de isentropiska Euler-ekvationerna. I projektet använder vi oss av finita element metoden (FEM) och språket FEniCS. Med hjälp av FEniCS kan man snabbt gå från ekvation till numerisk lösning samt enkelt hantera komplexa geometrier. Fokus kommer att ligga på att undersöka fysikaliskt relevanta testproblem och teori. Programmeringen kommer utgöra en mindre del.
  Handledare: Johan Wärnegård
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 2: Numeriska algoritmer

I detta ämnesområde går vi in på detaljer i en eller flera numeriska algoritmer. Det handla kan handla om en algoritm för en specifik tillämpning eller problem med vissa strukturer. Vanliga numeriska algoritmer är FFT, Newton, kvasinewton och matrisalgoritmer som baseras på faktorisering till exempel LU-faktorisering eller QR-faktorisering (används till exempel för ill-posed problems).

Preliminära förslag:

• Algoritmer för strukturerade matriser. De flesta matriser som används inom teknik och naturvetenskap har en struktur som man vet i förhand. Typiska strukturer är gleshet (förekommer vid diskresering av differentialekvationer), Toeplitz-struktur (förekommer i signalbehandling) eller symplektisk struktur (förekommer inom system och reglerteknik). Dessa matriser innehåller oftast väldigt mycket data, och de vanliga algoritmerna för att behandla dem fungerar inte. Här får du lära dig specialiserade algoritmer för matriser med olika strukturer och om tillämpningar.
  Handledare: t.b.a. och Elias Jarlebring
• Numeriska algoritmer för neurala nätverk. Neurala nätverk har blivit en av standardteknikerna för analys av data, framförallt stora datamängder. Neurala nätverk har vissa obekanta koefficienter som man försöker bestämma så bra som möjligt. Detta görs genom att man "tränar" nätverket på viss data där man vet någon egenskap på datapunkterna (t.ex bilder, där man vet om bilden innehåller en katt). När man har tränat nätverket kan man sedan tillämpa det på nya datapunkter och automatiskt förutsäga (mer eller mindre bra) om det egenskapen finns på denna datapunkt (t.ex. om en okänd bild innehåller en katt). Träningsfasen, dvs problemet att bestämma koefficienter givet datapunkter kan ses som ett olinjärt överbestämt ekvationssystem. I detta projekt kommer vi angripa detta problem med numeriska algoritmer, utgående från en av standardteknikerna inom numeriska metoder: Gauss-Newtons metod.
  Handledare: Anna Broms och Lena Leitenmaier
• Time stepping algorithms for Lyapunov equations.. The Lyapunov equation is a linear matrix equation, that is, the unknown is a matrix. The equation arises in a variety of different contexts and plays an important role in the analysis of dynamical systems (although you do not need any prior knowledge of this). It is known that the solution can be formulated as a matrix-valued ordinary differential equation (ODE). In this project we look at time-stepping methods for ODEs, such as for example Euler forward/backward and Runge-Kutta 4, to compute solutions to the ODE. The goal is to use the approximate solution to the ODE in order to compute an approximation of the solution to the Lyapunov equation.
  Handledare: Giampaolo Mele och Olof Runborg
• Algorithms for large scale eigenvalue problems. We consider the problem of computing several eigenvalues, with specific features, of large matrices. Such problems arise in many fields of mathematics and engineering such as: Google page-ranking, study of stability of dynamical systems, vibration analysis, etc. These problems can be solved with a class of methods called "Krylov subspace methods". The goal of the project is to obtain a basic understanding of such methods. The student will also implement and use them to solve application derived problems.
  Handledare: Giampaolo Mele och ?
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 3: Numeriska inverser

Att gå bakvägen i ett vetenskapligt resonemang är inte alltid så lätt. Om du vet densiteten i en planet kan man räkna ut hur stor gravitationen är i en given punkt. Av praktiska skäl kan man inte direkt mäta densiteten inuti en planet, men man kan mäta gravitationen vid några punkter på jordytan. Det inversa problemet att bestämma densitet är en typisk problemformulering ni får behandla i dessa projekt. Här får du lära dig att lösa inversa problem med numeriska metoder. Andra typiska inversa problem uppstår inom medicin, t.ex. i samband med röntgen eller tomografi.

Preliminära förslag:

• Material properties from wave measurements. The Helmholtz equation is a differential equation that describes many important physical processes that involve waves. One application is seismic imaging where acoustic waves are sent into the subsurface of the earth in order to get an information about what materials to find there. In the most simple case, this information can be determined from the wavenumber (also known as spatial frequency of the wave). In this project we therefore want to investigate how we can compute such an unknown wavenumber from measurements of an acoustic wave that was sent out. Mathematically, this involves to solve the so-called "Inverse Helmholtz-equation".
  Handledare: Patrick Henning
• Inverse problems for electric circuits. Suppose you are given a box containing an electric circuit containing an in-channel and an out-channel. In this project we set up a situation where the interior of an electric circuit is unknown. Your goal is to determine the interior by studying input and output. We use a model with a system of resistors, and wish to determine the interior configuration of the circuit should be determined by measurements, which is formulated as an inverse problem. Ill-posedness of this problem can be handled by applying regularization techniques.
  Handledare: Olof Runborg (och ?)
• Inverse physics problems from video. This project concerns computation for both image processing and physics. You will be expected to take a video of a physical phenomenon and set up a corresponding numerical simulation. Parameters and other assumptions and will be determined from the video - at first manually by hand and later by detecting parts in the image. How well can you reproduce the double pendulum motion with a numerical simulation? If you have a video of a physical phenomenon you would like to analyze, contact the supervisor and ask if it is reasonable.
  Handledare: t.b.d och Elias Jarlebring
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 4: Numerik för fysik

Planeternas banor, liksom atomers rörelse kan beskrivas med fysikaliska lagar formulerade som ekvationer - ofta komplicerade differentialekvationer. För att beräkna beteendet som fysiken modellerar måsta man i regel lösa dessa numeriskt. Här behandlar du en modell av något fysikaliskt, och du får använda generella och specialiserade metoder för att simulera fysiken.

Preliminära förslag:

• Objekt som rör sig och deformeras. I simuleringar av många tillämpningar finns behovet av att noggrant representera och flytta former/strukturer/geometrier som rör sig och deformeras. Dessa omformbara och dynamiska former kan tex vara gränsskiktet mellan två icke blandbara vätskor som vatten och olja, våra hjärtklaffar, isflak i klimatsimuleringar, eller en flygplansvinge vars form optimeras för att reducera bränsleförbrukningen. I detta projekt får du lära dig om och testa olika metoder för att representera och flytta på objekt som rör sig. Vad har metoderna för styrkor och svagheter och hur kan man göra om det finns många objekt som rör sig?
  Handledare: Sara Zahedi
• Numerical algorithms for nanophotonics. One of the key challenges within the field of nanophotonics is the computation, in an efficient and a reliable way, of resonant modes of complicated materials. In this project, you will assume that the material is frequency dependent. Rather than solving a standard eigenvalue problem, which is needed for homogeneous frequency independent materials, this project requires the solution of a nonlinear eigenvalue problem. You will learn about and implement algorithms for nonlinear eigenvalue problems and use them to solve problems stemming from nanophotonics. No prior knowledge of nanophotonics or nonlinear eigenvalue problems is required. The project can be done in MATLAB or Julia. The project is closely related to research of the numerical analysis group.
  Handledare: Elias Jarlebring och Giampaolo Mele
• Numerik, kvantmekanik och flödesmekanik. Kan man effektivt simulera gasflöden genom att lösa ekvationer från kvantmekanik? I det här projektet undersöker vi den numeriska tillämpbarheten av en koppling mellan kvantmekanik och flödesmekanik. Närmare bestämt tittar vi på kopplingen mellan Gross- Pitaveskiis ekvation och de isentropiska Euler-ekvationerna. I projektet använder vi oss av finita element metoden (FEM) och språket FEniCS. Med hjälp av FEniCS kan man snabbt gå från ekvation till numerisk lösning samt enkelt hantera komplexa geometrier. Fokus kommer att ligga på att undersöka fysikaliskt relevanta testproblem och teori. Programmeringen kommer utgöra en mindre del.
  Handledare: Johan Wärnegård
• Numerisk simulering av blodflödet i människohjärtat. I detta projekt tittar vi på problem inom numerisk simulering av blodflödet i ett patientspecifikt mänskligt hjärta. Mer specifikt vill vi studera en tvådimensionell modell för dynamiken hos mitralisklaffen, som beskriver öppning och stängning mellan vänster förmak och vänster kammare. Med hjälp av denna parametermodell kan vi beskriva olika typer av beteenden hos mitralisklaffen, såsom sjukdomstillstånd och protetiska valv. Vi vill i detta projekt framförallt variera paramterarna i modellen för att studera dess robusthet och undersöka hur osäkerheter i parametermodellen påverkar blodflödet i kammaren (uncertainty quantification). De numeriska simuleringarna av blodflödet bygger på lösning av Navier-Stokes ekvationer (i tre dimensioner), som beskriver flöden av blod och andra vätskor. I projektet arbetar vi tillsammans med forskare från Karolinska Universitetssjukhuset och CNRS (French National Centre for Scientific Research) i Paris.
  Handledare: Frida Svelander
• Revisiting the Bose-Einstein simulations. When a gas is cooled to ultra-low temperatures close to absolute zero, a state of matter is formed called the Bose-Einstein condensate. Its experimental discovery was awarded the Nobel prize in 1995. In this project you will set up a model and simulate Bose-Einstein condensates. The atoms start to behave like one single super-atom, which in particular has a superfluid character, giving rise to vortizes. More specifically, we aim at simulating realistic scenarios and to study the number of vortices and the patterns that they form. This requires to solve nonlinear eigenvalue problems.
  Handledare: Patrick Henning (and Johan Wärnegård?)
• Numerisk simulering av isdynamik. (FULLBOKAT) Isen på Grönland och Antarktis deformeras och rör sig långsamt ut mot kusten. Vid kusten smälter den då den kommer i kontakt med vårt allt varmare hav. För att kunna uppskatta hur mycket isen kommer att smälta, och därmed hur mycket de globala havsnivåerna kommer höjas, så gör man datorsimuleringar. I simuleringarna modelleras isen genom att lösa ett system av olinjära partiella differential ekvationer, som efter diskretisering med finita element metoden resulterar ett olinjärt system A(x)x=b. Olinjäriteten härstammar från att isens viskositet inte är konstant, utan istället beror på hur stora krafter och spänningar det finns inuti isen. Detta olinjära system är mycket utmanande att lösa och de numeriska lösare som används fungerar ibland mycket ineffektivt eller inte alls. Vi tillämpar iterativa metoder för detta problem, och studerar hur väl de fungerar i olika situation. Vi använder FEniCS https://fenicsproject.org/ för att modellera glaciärer som flyter ut i fjordar vid Grönlands kust.
  Handledare: Josefin Ahlkrona (SU) (och formell bihandledare Elias Jarlebring))
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 5: Numerik för data science

"Data science" är ett interdisciplinärt fält där man använder vetenskapliga metoder, tekniker och algoritmer för att extrahera information från data. Data kan komma från mätningar av signaler och bilder från fysikaliska processer, t.ex. ljudupptagning eller satellitfoton, eller från nätverk, grafer eller flöden, t.ex. sociala nätverk eller olika typer av samhällsvetenskapliga samband. Om du väljer detta ämne kan du använda du numeriska algoritmer och metoder för att behandla och analysera problem som innehåller mycket data, "numerics for data science".

Preliminära förslag:

• Googles PageRank algoritm. PageRank algoritmen uppfanns av Larry Page och Sergey Brin runt 1998 och användes i prototypen för Googles sökmotor. Den visade sig snabbt vara klart bättre än tidigare sökalgoritmer, och ligger till grund för hela företaget. I den första fasen av det här projektet lär vi oss om algoritmen och matematiken bakom. Detta innefattar riktade grafer, matriser och egenvärden. Nästa fas kan vara antingen mer inriktad på tillämpning av algoritmen på olika exempel, alternativt att undersöka olika förfiningar och anpassningar som gjorts av den ursprungliga algoritmen.
  Handledare: Anna-Karin Tornberg (och ?).
• Algorithms for eigenvalue problems in data science. We consider the problem of computing several eigenvalues, with specific features, of large matrices. Such problems arise in many fields of mathematics and we study problems from data science, typically a graph representation of data. These problems can be solved with a class of methods called "Krylov subspace methods", which the student will use and apply to large data sets.
  Handledare: Giampaolo Mele och Elias Jarlebring
• Dataanalys av blodflöde i människohjärtat. I detta projekt tittar vi på visualisering och analys av data som genererats från numerisk simulering av blodflödet i ett patientspecifikt mänskligt hjärta. Tidsserier av hastighets- och tryckfält av storleksordning ~10^5 datapunkter behöver analyseras för att spåra hur blodet rör sig i vänster kammare under en hjärtcykel. Med hjälp av partikelspårning (particle tracing) kan ett litet flödeselement följas i hastighetsfältet, och dess bana senare visualiseras med hjälp av programvara för vetenskaplig visualisering, såsom Paraview. Datan har genererats från numerisk lösning av Navier-Stokes ekvationer, som beskriver flöden av blod och andra vätskor. En plattform för detta finns utvecklad på KTH.
  Handledare: Frida Svelander (och prel Johan Hoffman)
• Egenvärdesalgoritmer för grafer inom data science. Givet datapunkter kan man på olika sätt bygga en graf eller nätverk, som representerar sammankopplingen (data interconnectedness). Laplacianen är matris som som kan användas för att representera en graf på en dator. Man kan bestämma många egenskaper från Laplacianen. Bland annat ger den andra egenvektorn ett sätt att separera grafen i två delar, så kallad clustering (relaterad till unsupervised learning). När man har enorma datamängder blir beräknandet av denna egenvektor svårt och man måste använda algoritmer för stora matriser. Vi specialiserar algoritmer för stora egenvärdesproblem och tillämpar speciellt till beräkningar i denna situation. Projektet kan genomföras algoritmiskt och/eller för en specifik tillämpning.
  Handledare: Giampaolo Mele och Elias Jarlebring
• Numeriska algoritmer för neurala nätverk. Neurala nätverk har blivit en av standardteknikerna för analys av data, framförallt stora datamängder. Neurala nätverk har vissa obekanta koefficienter som man försöker bestämma så bra som möjligt. Detta görs genom att man "tränar" nätverket på viss data där man vet någon egenskap på datapunkterna (t.ex bilder, där man vet om bilden innehåller en katt). När man har tränat nätverket kan man sedan tillämpa det på nya datapunkter och automatiskt förutsäga (mer eller mindre bra) om det egenskapen finns på denna datapunkt (t.ex. om en okänd bild innehåller en katt). Träningsfasen, dvs problemet att bestämma koefficienter givet datapunkter kan ses som ett olinjärt överbestämt ekvationssystem. I detta projekt kommer vi angripa detta problem med numeriska algoritmer, utgående från en av standardteknikerna inom numeriska metoder: Gauss-Newtons metod.
  Handledare: Anna Broms och Lena Leitenmaier
• Numerical stochastic gradient descent. Se föregående läsår. Handledare ej bestämt ännu.
• Fler projekt läggs till vid behov.

Tidigare läsår

Många exempel på tidigare KEX-jobb inom numerisk analys finns här.