Ämnesområde 1: Numeriska vågor

Vågor finns omkring oss överallt. Vattenvågor. Ljudvågor. Elektromagnetiska vågor. Gravitation. I denna typ av projekt kan du studera problem som beskrivs av vågor, som du får lösa med numeriska metoder och algoritmer.

Preliminära förslag:

• Highly oscillatory ordinary differential equations. In this project we consider ODEs with multiple time scales, i.e. ODEs whose solution consists of fast oscillations with period ε<<1, superimposed on a slowly varying function. The ODE problem is an example of a multiscale problem. They are common in many areas, from physics and chemistry to biology. They are characterized by the need to take very fine scale information into account even when only the coarse scales of the solution is of interest. This typically makes them very difficult to treat with numerical methods.
  Handledare: Olof Runborg
• Numerical methods for subsurface flow. Subsurface flow and transport are physical processes that describe how groundwater flows beneath the earth surface. These processes are also important in order to understand how geothermal energy can be extracted via water running through (and heated by) the hot subsurface rock. Different sedemntary layers may be more or less difficult for the water to flow through. This property, the permeability of the rock, can vary by orders of magnitudes making the construction of numerical methods for such problems challenging. In addition, standard numerical methods do not preserve the physics properly. In this project we consider how to construct numerical methods in such a way that the physics is preserved.
  Handledare: Anna Nissen
• Dimensionering av vågkraftverksnät. Ett sätt att utvinna energi är att utnyttja vågkraft. Det kan göras med WEC-bojar (Wave Energy Converters). Dagens bojar är dock dyra att bygga och ger förhållandevis lite energi per boj. Men om man kan förutsäga hur vågorna kommer att se ut den närmaste tiden, finns det sätt att konstruera bojen så att energi-utvinningen per boj kan ökas avsevärt. Tyvärr är vågor svåra att förutse och modellera. Ett sätt är då att lägga ut flera WEC-bojar i närheten av varandra så att den yttersta bojen kan förvarna de inre bojarna när och hur vågorna kommer. I detta projekt får du lära dig om numeriska metoder för att simulera detta.
  Handledare: Ninni Carlsund Levin
• Numerisk tillämpning av analogier mellan kvantmekanik och flödesmekanikKan man effektivt simulera gasflöden genom att lösa ekvationer från kvantmekanik? I det här projektet undersöker vi den numeriska tillämpbarheten av en koppling mellan kvantmekanik och flödesmekanik. Närmare bestämt tittar vi på kopplingen mellan Gross- Pitaveskiis ekvation och de isentropiska Euler-ekvationerna. I projektet använder vi oss av finita element metoden (FEM) och språket FEniCS. Med hjälp av FEniCS kan man snabbt gå från ekvation till numerisk lösning samt enkelt hantera komplexa geometrier. Fokus kommer att ligga på att undersöka fysikaliskt relevanta testproblem och teori. Programmeringen kommer utgöra en mindre del.
  Handledare: Johan Wärnegård
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 2: Numeriska algoritmer

I detta ämnesområde går vi in på detaljer i en eller flera numeriska algoritmer. Det handla kan handla om en algoritm för en specifik tillämpning eller problem med vissa strukturer. Vanliga numeriska algoritmer är FFT, Newton, kvasinewton och matrisalgoritmer som baseras på faktorisering till exempel LU-faktorisering eller QR-faktorisering (används till exempel för ill-posed problems).

Preliminära förslag:

• Algoritmer för strukturerade matriser. De flesta matriser som används inom teknik och naturvetenskap har en struktur som man vet i förhand. Typiska strukturer är gleshet (förekommer vid diskresering av differentialekvationer), Toeplitz-struktur (förekommer i signalbehandling) eller symplektisk struktur (förekommer inom system och reglerteknik). Dessa matriser innehåller oftast väldigt mycket data, och de vanliga algoritmerna för att behandla dem fungerar inte. Här får du lära dig specialiserade algoritmer för matriser med olika strukturer och om tillämpningar.
  Handledare: Elias Jarlebring
• Numerical stochastic gradient descent. In this project you will carry out a specialized application of the stochastic gradient descent algorithm which is often used in basic data analysis and machine learning in the context of neural networks. We will use this algorithm to construct neural network that approximate given data (or functions).
  Handledare: Anna Persson (annaper3@kth.se) och Patrick Henning
• Free space FFTs. In many applications, one wants to numerically solve a partial differential equation (PDE) without imposing boundary conditions on an enclosing boundary and rather mimic an “infinite domain”. This is the case for example when simulating electromagnetic or acoustic waves that hit an object and scatters outwards. However, discretizing the PDE with standard techniques, a finite size domain must be used, and quite advanced techniques have been developed to avoid the artificial reflection that occurs at boundaries of the computational domain.
  Handledare: Fredrik Fryklund och Anna-Karin Tornberg
• Time stepping algorithms for Lyapunov equations.. The Lyapunov equation is a linear matrix equation, that is, the unknown is a matrix. The equation arises in a variety of different contexts and plays an important role in the analysis of dynamical systems (although you do not need any prior knowledge of this). It is known that the solution can be formulated as a matrix-valued ordinary differential equation (ODE). In this project we look at time-stepping methods for ODEs, such as for example Euler forward/backward and Runge-Kutta 4, to compute solutions to the ODE. The goal is to use the approximate solution to the ODE in order to compute an approximation of the solution to the Lyapunov equation.
  Handledare: Emil Ringh och Elias Jarlebring
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 3: Numeriska inverser

Att gå bakvägen i ett vetenskapligt resonemang är inte alltid så lätt. Om du vet densiteten i en planet kan man räkna ut hur stor gravitationen är i en given punkt. Av praktiska skäl kan man inte direkt mäta densiteten inuti en planet, men man kan mäta gravitationen vid några punkter på jordytan. Det inversa problemet att bestämma densitet är en typisk problemformulering ni får behandla i dessa projekt. Här får du lära dig att lösa inversa problem med numeriska metoder. Andra typiska inversa problem uppstår inom medicin, t.ex. i samband med röntgen eller tomografi.

Preliminära förslag:

• Material properties from wave measurements. The Helmholtz equation is a differential equation that describes many important physical processes that involve waves. One application is seismic imaging where acoustic waves are sent into the subsurface of the earth in order to get an information about what materials to find there. In the most simple case, this information can be determined from the wavenumber (also known as spatial frequency of the wave). In this project we therefore want to investigate how we can compute such an unknown wavenumber from measurements of an acoustic wave that was sent out. Mathematically, this involves to solve the so-called "Inverse Helmholtz-equation".
  Handledare: Patrick Henning
• Inverse problems for electric circuits. In this project we set up a situation where the interior of an electric circuit is unknown. We use a model of a system of resistors, and wish to determine the interior configuration of the circuit should be determined by measurements, which is formulated as an inverse problem. Ill-posedness of this problem can be handled by applying regularization techniques.
  Handledare: Olof Runborg (och ?)
• Inverse physics problems from video. This project concerns computation for both image processing and physics. You will be expected to take a video of a physical phenomenon and set up a physical model. All physical models contain parameters such as weights and sizes and geometries. You will be expected to try to determine these parameters (which is the "inverse problem") by carrying out simulations and analyze the video. How well can you reproduce the double pendulum motion with the Newtons equations of motion?
  Handledare: t.b.d och Elias Jarlebring
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 4: Numerik för fysik

Planeternas banor, liksom atomers rörelse kan beskrivas med fysikaliska lagar formulerade som ekvationer - ofta komplicerade differentialekvationer. För att beräkna beteendet som fysiken modellerar måsta man i regel lösa dessa numeriskt. Här behandlar du en modell av något fysikaliskt, och du får använda generella och specialiserade metoder för att simulera fysiken.

Preliminära förslag:

• Woodpecker. Mechanical systems of rigid bodies are often modelled by so-called differential-algebraic systems. The woodpecker is a curious toy which features contact discontinuities. In practice one can observe that this toy leads to periodic oscillations. With this project, we try to model this behavior. Your task will be to develop a mathematical model and the corresponding numerical methods for simulating the woodpecker. In particular, you will show that stable oscillations exist and find the oscillation frequency.
  Handledare: Michael Hanke
• Numerisk tillämpning av analogier mellan kvantmekanik och flödesmekanikKan man effektivt simulera gasflöden genom att lösa ekvationer från kvantmekanik? I det här projektet undersöker vi den numeriska tillämpbarheten av en koppling mellan kvantmekanik och flödesmekanik. Närmare bestämt tittar vi på kopplingen mellan Gross- Pitaveskiis ekvation och de isentropiska Euler-ekvationerna. I projektet använder vi oss av finita element metoden (FEM) och språket FEniCS. Med hjälp av FEniCS kan man snabbt gå från ekvation till numerisk lösning samt enkelt hantera komplexa geometrier. Fokus kommer att ligga på att undersöka fysikaliskt relevanta testproblem och teori. Programmeringen kommer utgöra en mindre del.
  Handledare: Johan Wärnegård
• Monte Carlo metoder för molekyldynamik. In molecular dynamics we are interested in the classic description of microscopic ensembles of atoms. You will learn about monte carlo methods and use it to solve molecular dynamics problems.
  Handledare: Anders Szepessy (szepessy at kth.se)
• Delays of gravity. Almost 100 years ago Einstein discovered that the difference in observation and theory (from Newtonian mechanics) for the closest distance between the sun of the planet Mercury was predicted by the theory of relativity. You will investigate this property with modern numerical tools. In particular, the fact that gravity is non-instantaneous will be investigated with numerical solution of delay-differential equations.
  Handledare: Elias Jarlebring (och t.b.d)
• Fler projekt läggs till vid behov.

Ämnesområde 5: Numerik för datamängder

"Data science" är ett interdisciplinärt fält där man använder vetenskapliga metoder, tekniker och algoritmer för att extrahera information från data. Data kan komma från mätningar av signaler och bilder från fysikaliska processer, t.ex. ljudupptagning eller satellitfoton, eller från nätverk, grafer eller flöden, t.ex. sociala nätverk eller olika typer av samhällsvetenskapliga samband. Om du väljer detta ämne kan du använda du numeriska algoritmer och metoder för att behandla och analysera problem som innehåller mycket data, "numerics for data science".

Preliminära förslag:

• Can computers hear? The mathematics of music. Have you ever wondered how a computer program can recognize music, voices or sounds in general? As we know sound waves are composed of several frequencies. To study the frequency content of sound waves, the Fourier transform can be used on the data representing the sound. Such data sets can be large and require efficient algorithms for analysis and computations. In this project you will write a computer program that quantifies the number of people in a conversation. Once the frequencies are recognized there are various possible applications and extensions, such as recognizing voices for recordings of increasing complexity, or recognizing specifically words and perform an associated task.
  Handledare: Fredrik Fryklund (och t.b.d.)
• Modern numerical algorithms for the pagerank. Modern web search engines such as Google, Yahoo and Bing Search sort the results of your query by measuring the importance of webpages containing your criteria. The algorithm used is called Pagerank and it was the first algorithm used by Google. The idea behind the Pagerank follows a simple logic: the importance of a page is roughly estimated by counting the number and quality of links that point to that page. In this project you will learn about this algorithm and how it can be improved to incorporate new information.
  Handledare: Emil Ringh (och Elias Jarlebring).
• Numerical stochastic gradient descent. In this project you will carry out a specialized application of the stochastic gradient descent algorithm which is often used in basic data analysis and machine learning in the context of neural networks. We will use this algorithm to construct neural network that approximate given data (or functions).
  Handledare: Anna Persson (annaper3@kth.se) och Patrick Henning
• Numerical spectral graph analysis for digit classification. You will here be given a data-set consisting of images of hand-written digits, and you will be expected to construct an algorithm which separates these digits into 10 groups. This problem class is sometimes called clustering and can be formulated mathematically in terms of a graph. You will learn about techniques to set up the graphs and their associated matrices. By analyzing these matrices (and the eigenvalues of the matrices), the goal is to a separate the data into several parts representing the different handwritten digits. Alternative approaches based on other distance measured can be investigated.
  Handledare: Emil Ringh (och Elias Jarlebring).
• Googles PageRank algoritm. PageRank algoritmen uppfanns av Larry Page och Sergey Brin runt 1998 och användes i prototypen för Googles sökmotor. Den visade sig snabbt vara klart bättre än tidigare sökalgoritmer, och ligger till grund för hela företaget. I den första fasen av det här projektet lär vi oss om algoritmen och matematiken bakom. Detta innefattar riktade grafer, matriser och egenvärden. Nästa fas kan vara antingen mer inriktad på tillämpning av algoritmen på olika exempel, alternativt att undersöka olika förfiningar och anpassningar som gjorts av den ursprungliga algoritmen.
  Handledare: Anna-Karin Tornberg (och ?).
• Fler projekt läggs till vid behov.

Tidigare läsår

Många exempel på tidigare KEX-jobb inom numerisk analys finns här.