Navigation: [teori] | [övningar] | [deriveringsverktyget] | [upp]
Hej! I detta dokument håller vi oss till följande konventioner: variabelnamn i Monospace (utom då de förekommer i formler och beräkningar), förtydliganden understrukna; sektioner, undersektioner samt nya viktiga begrepp i fetstil.
Så, nu vet du det. Antagligen är du här för att lära dig mer om derivator, eller färska upp minnesbilden av dem (eller kanske är begreppet derivata helt nytt för dig? Isåfall hoppas vi att denna guide kan fungera som en språngbräda mot vidare studium). I vilket fall som helst – låt oss sätta igång!
Tänk dig en person, som cyklar från hemmet till jobbet. Tänk dig sedan att personen, för att ta sig hela vägen fram, måste tillryggalägga en sträcka på 4,0 kilometer, samt att resan tar exakt femton minuter.
Vi vill nu ta reda på vilken medelhastighet personen hållit under resan. Hur ska vi gå tillväga?
Som du säkert redan vet finns det ett samband mellan sträcka, tid och hastighet. Detta samband kan uttryckas matematiskt som:
v = s/t
Alltså, hastigheten ges av streckan genom tiden. Gängse bruk här är att beteckna hastighets-variabeln som v (efter engelskans velocity). Sträckan och tiden kallar vi lämpligtvis för s respektive t.
med insatta värden får vi (tänk på att ange s i meter, t i sekunder):
s = 4 km = 4000 m;
t = 15 min = (15 · 60) s = 900 s
v = s/t = 4000/900 ≈ 4,4 m/s
Kom ihåg att avrunda till lämpligt antal siffror! I detta fall vet vi det exakta värdet på t , däremot känner vi s bara med två siffrors noggrannhet. Därför ska även svaret anges med två siffror.
Svar: Personens medelhastighet under resan var 4,4 m/s.
I 1.1 efterfrågades den genomsnittliga förändringshastigheten (medelhastigheten) över ett intervall. Denna kunde beräknas med hjälp av formeln v = s/t.
Mer allmänt kan samma formel skrivas:
(medelhastigheten över ett intervall) = (förändringen över intervallet)/(intervallets längd)
Vi tar vår utgångspunkt i ovanstående. Om x och y är variabler, och y beror av x, kan föregående formel uttryckas matematiskt som en ändringskvot:
k = Δy/Δx
x och y kan beteckna godtyckliga storheter som förhåller sig till varandra så som s och t i exemplet ovan; det vill säga: y behöver inte vara en sträcka, x behöver inte vara en tid. Oavsett hur dessa variabler väljs, har vi att k betecknar den genomsnittliga förändringshastigheten av y över intervallet x.
Om du sedan tidigare känner till att en rät linje kan beskrivas av ekvationen y = k · x + m, ligger det nära till hands att tolka k grafiskt som kurvans genomsnittliga lutning över intervallet x, och det är en helt riktig tolkning. Följande diagram illustrerar detta:
Så, för att sammanfatta, håll i minnet att följande begrepp
här är att betrakta som synonyma; samt att de alla kan beskrivas av formeln k = Δy/Δx [1]
Vi ska nu introducera två enkla begrepp som ligger till grund för framställningen av derivata längre fram. Först ut är sekant, som definieras som en rät linje mellan två punkter på en graf. Samma sak med tangent, men här gäller att linjen tangerar (vidrör) grafen endast i en punkt. [1]
Alla funktioner har definitionsmängd. Definitionsmängd är ett begrepp som förklarar alla möjliga värden på xdär funtionen gäller. Ett gränsvärde är ett värde för en funktion när definitionsmängd närmar sig en viss punkt eller växer sig oändligt (mot oändligheten).
T.ex:
F(x) = 1/x
Definitionsmängd: Alla möjliga värde i de reella tal R, förutom 0. Värdemängd: Alla möjliga värde i de reella tal R.
Men skulle kunna funtionen forsätta växa oändligt? I så fall, skulle den också kunna bli så liten som möjligt, men aldrig 0? I matematiken, vad är lösningen till detta? Ska man fortsätta och växa eller sänka för att beskriva hur funktionen beter sig? Gränsvärde gör det enklare för oss att beskriva detta: Vad händer med funktion när den närmar sig 0, ∞, eller vilken punkt som helst?
Tillbaka till F(x) = 1/x så har två viktiga situationer.
Den ena är där x-värdet vill växa så stor som möjligt. Vad händer med funtionens värde när xnärmar mig oändligheten? Funktionen då blir 0. Alltså "Funktionen f av x går mot 0 när x går mot oändligheten"
| f(x) = 0 |
Den andra är där x-värdet vill blir så liten som möjlgt. När x närmar sig 0, vad händer då? Funtionen antar stora värden, alltså den går mot oändligheten. "Funtionen f av x går mot oändligheten när x går mot 0"
| f(x) = ∞ |
[2]
En generellt funktions väljs för att beskriva gränsvärdens uppkomst. Tänk y=f(x) och välj en punkt i funktionen (x,f(x)). Sen väljer en annan punkt som är en förflytnning av punkt (x,f(x)) längst x-axeln, och i sin tur y-axeln. Längst x-axeln är förflyttningen h enheter. Då blir det nya punkten (x+h,f(x+h))
L1 är en sekant till f(x), och tangerar dess graf i punkterna (x,f(x)) samt ((x+h),f(x+h)) där x=1 och h=0,25
L2 är tangent till f(x) i punkten (x,f(x)), där x=1
Om tänker på att linken som går igenom båda punkter, så får man en sekant. Sekanten är fortfarande en linje, därför kan man räkna ut sekantens k-värde. I detta fall skulle man ta fram k-värdet (alltså lutningen) för en linje som sammanbinder två punkter i funktionen. Hur gör man om man vill hitta lutningen på en viss punkt i funktionen? [Alltså föreställ situationen där funktionen beskriver hastighet/tid samband för en bil i rörelse. Hur är det möjligt och veta hastigheten varje sekunda i accelerometern?] Då måste man hitta ett h-värde så pass litet att (x+h) är nästan lika med x. Då har man ett gränsvärde 0 för h.
k=(f(x+h)−f(x))/((x+h)−x) [2]
Derivatans definition som beskrevs i det tidigare avsnittet kan vara svår att tillämpa på tal med många olika komponenter.
Därför används ofta potensregelnsom lyder “Derivatan av xr är r· xr−1 eller enklare rxr−1. Endast med matematiska termer skrivs det
dy/dxxr=rxr−1.
dy/dx innebär "ta derivatan av uttrycket".
Eftersom regeln är så grundläggande är det bra att du vet när du ska använda den och hur du använder den. Dessa två tänkte jag gå igenom. Du använder potensregeln när du ska räkna ut derivatan. Om det är flera variabler med olika exponenter får det endast vara addition eller subtraktion mellan dessa. Det får alltså inte vara dividerat eller multiplicerat mellan variablerna med olika exponenter för att använda potensregeln. Om det är dividerat eller multiplicerat mellan variabler med olika exponenter används regler som tas upp i avsnitt 8.
När du använder potensregeln ska du subtrahera med 1 i exponenten och den ursprungliga exponenten multipliceras med den koefficient som är framför variabeln. Det här gäller för alla variabler. Om exponenten är 1, alltså ax1 som oftast skrivs ax där a är ett reellt tal (eller ax∧ a ∈ R, symbolen ∧ innebär "och", symbolen ∈ innebär "tillhör") kommer svaret bli koefficienten som stod framför variabeln eftersom dy/dxax=1ax0=a ⇐ x0 =1 (där ⇐ innebär att uttrycket till vänster är sann eftersom uttrycket till höger är sant) det är för att ett tal gånger 1 är samma tal a · 1=1. Om exponenten blir negativ kan du dividera med 1 för att få bort det negativa tecknet x−a=1/xa.
dy/dxax=1ax0=a ⇐ x0 =1 (där ⇐ innebär att uttrycket till vänster är sann eftersom uttrycket till höger är sant) det är för att ett tal gånger 1 är samma tal a · 1=1. Om exponenten blir negativ kan du dividera med 1 för att få bort det negativa tecknet
x−a=1/xa.
Exempel:
Ex. 1:
Derivera y=x2.
Använd potensregeln
y′=2 · x2−1.
Vilket kan förenklas till
“y′=2x”.
Svar: Derivatan av y=x2 är y′=2x.
Tänk på att du visar tydligt var du slutar uträkningen och skriv svaret i en mening.
Ex. 2:
Derivera y=3x3+5x2−3x+10.
Kom ihåg att potensregeln gäller för varje komponent i uttrycket
y′=3 · 3x2+5 · 2x−3 · 1x0+100x−1.
Notera att kontanten 10 multipliceras med 0. Därmed kommer konstanter som deriveras bli 0, det kan ses som att konstanter “försvinner” när de deriveras,
“y′=9x2+10x−3”
Svar: Derivatan av y=3x3+5x2−3x+10 är y′=9x2+10x−3.
Ex. 3:
Derivera y=x3/3+x5/2.
Eftersom det blir enklare om den högsta exponenten är längst till vänster i funktionen rekommenderar jag att du flyttar om termerna
dy/dx y= x5/2+x3/3,
y′=5 · 1/2x4+3 · 1/3x2.
Eftersom a · 1/a=a kan uttrycket lätt förenklas
y′=2,5x4+x2.
Svar: Derivatan av y=x3/3+x5/2 är y′=2,5x4+x2.
Nu får du träna på att använda potensregeln med några övningar.
Övning 1:
Derivera y=3x.
Övning 2:
Derivera f(x)=5x2+x+6.
Övning 3:
Derivera g(x)=a7/3+7a−8a3−2a.
Övning 4:
Finn tangentens lutning då x=2 på funktionen f(x)=x3+2xoch använd potensregeln.
[3]
Nu ska jag gå igenom några flera exempel hur du deriverar olika funktioner.
Det du tidigare läst om har varit potensfunktioner av formen y=kxa med derivatan
y′=akxa−1.
Exponentialfunktioner som har formen y=ax där a är ett känt tal. Genom den naturliga logaritmens definition a1=( eln(a) )1 kan du börja härledningen hur du deriverar exponentialfunktioner.
Du kan byta ut 1 mot en variabel x på båda leden så ax=( eln(a) )x=eln(a)x enligt potenslagen
(xa)b=xab.
Värdet ax är det du vill derivera så du kan fortsätta använda denna.
Genom e:s allmänna formel dy/dxekx=kekx kan du jämföra med hur du definierade ax ovan med e:s allmänna formel.
Då får du att ekx=eln(a)x så kan du se sambandet att
k=ln(a).
När vi vet hur k kan uttryckas som i en funktion som inte har e i basen kan vi använda e:s allmänna formel för att ta reda på derivatan enligt
y′=ln(a)· eln(a)x.
Du kan omformulera derivatan eftersom a=eln(a), på så sätt är inte e i basen. Då blir derivatan
y′=ln(a)· ax.
Derivatan av en exponentialfunktion y=kxa är y′=ln(a)· ax.
Eftersom x egentligen innebär 1 · x gäller funktionen för alla koefficienter k framför x. Alltså
dy/dxakx=k· ln(a)· akx.
Derivatan av en exponentialfunktion y=akx är
y′=k· ln(a)· akx.
Exempel
Ex. 1:
Derivera y=54x
y′=4· ln(5)54x vilket kan förenklas till
“y′=4 ln(5)· 54x”.
Svar: Derivatan av y=54x är y′=4ln(5)· 54x.
Ex. 2:
Derivera y=82x+75x
“y′=2ln(8)· 82x+5ln(7)· 75x”
Svar: Derivatan av y=82x+75x är y′=2ln(8)· 82x+5ln(7)· 75x
Ex. 3:
Derivera y=e2x
y′=2 ln(e1)· e2x
Eftersom naturliga logaritmen ln(u) har e som bas är ln(e1) = 1, så
“y′=2e2x”
Svar: Derivatan av y=e2x är y′=2e2x.
dy/dy=a· ekx
y′=a· k · ekx
Övning 1:
Derivera y=123x−38x.
Övning 2:
Derivera y=45x−39x+8x.
Logaritmfunktioner som har formen y=loga(x) har alltid derivatan 1/x ∧ x>0 eftersom originalfunktionen endast är definierad för positiva värden. Här råder jag dig att du läser avsnitt 8.1 innan du fortsätter eftersom logaritmfunktioner har i alla fall - förutom i specialfallet ovan då x var i parentesen - en så kallad “inre derivata” som påverkar övriga uttrycket. Vid specialfallet blir den inre derivatan 1 och ett tal multiplicerat med 1 blir talet igen. Enkelt sagt är den inre derivatan derivatan av en funktion som innehåller en annan funktion, som log(u), först deriveras det yttre “log” sedan det inre “u” och multiplikation mellan talen.
Exempel
Ex. 1:
Derivera y=log10(4x)
Gör substitution (sätter in det värde jag vet i en en-exponents variabel)
4x=u.
dy/dxy=log10(u)
y′=1/u · dy/dxu
Där dy/dxu innebär “Derivera u”. Sätter tillbaka u=4x
y′=1/4x· 4.
Som enklare kan skrivas
y′=4/4x=1/x=x−1
“y′=x−1”.
OBS: 1: Basen på logaritmen användes inte. 2: Substitutionen användes för att göra det tydligare, det hjälper en hel del vid svårare inre derivator.
Svar: Derivatan av y=log10(4x) är y′=x−1.
Personlig åsikt: Det är sådant som jag tycker är intressant med matematik. Vi kan göra om ett uttryck och få det ganska enkelt utan större ansträngning. Dessutom visste jag inte svaret själv förrän jag gjort uppgiften och ändå blev det ett så enkelt svar.
Ex. 2:
Derivera y= loga( 5x5/2x4 )
Använder potenslagarna
5x5/2x4=5/2· x5/x4=2,5· x=2,5x.
Vi har alltså
y=loga(2,5x).
Deriverar enligt formeln ovan
y′=1/2,5x· 2,5=2,5/2,5x=1/x=x−1
“y′=x−1”.
Svar: Derivatan av y= loga( 5x5/2x4 ) är y′=x−1.
(Vilket av en slump blev samma värde som i ex. 1)
Övning 1:
Derivera y=loga(x2).
Övning 2:
Derivera y=loga(6x3/2x).
Övning 3:
Derivera y=loga(2x3 · 5x5).
[3]
Vi vet att derivatan ökar eller minskar olika snabbt beroende på derivatan på olika punkter i en funktion. Men vad händer när tangenten är horisontell, dvs när derivatan är noll?
Jo, på det x-värde där derivatan är noll befinner vi oss på en så kallad extrempunkt. En extrempunkt är då man befinner sig högst upp på en topp (maximipunkt), längst ner på en dal (minimipunkt) eller på en terrasspunkt (där derivatan antingen växer på båda sidorna av punkten eller avtar på båda sidorna av punkten). För att ta reda på vilket x-värde en extrempunkt har så måste du sätta funktionens derivata = 0.
Observera att funktionens högsta eller lägsta värde inte alltid ligger på extrempunkterna utan funktionen kan anta sina max- eller minimivärden på intervallens ändpunkter om funktionen har intervall.
Ex. Hitta extrempunkten för funktionen f(x) = 4x2 + 3x
Först bör du hitta derivatan för funktionen genom potensregeln:
f′(x) = 8x + 3
Sätt sedan f′(x) = 0, eftersom extrempunkten alltid ligger på derivatans nollställe (då funktionen inte har några intervall).
8x + 3 = 0
8x = −3
x = −3/8
Nu har vi x-koordinaten. För att få y-koordinaten så stoppar vi in −3/8 i funktionen 4x2 + 3x:
f(−3/8) = 4·(−3/8)2 + 3·(−3/8)
f(−3/8) = −9/16
x=−3/8, y=−9/16
Svar: Extrempunkten ligger i punkten (-3/8, -9/16)
För att ta reda på om en nollpunkt är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt så använder vi oss antingen av en teckentabell eller av den så kallade andraderivatan.
För att nå visshet om karaktären hos en extrempunkt, måste vi först känna x i denna punkt; därefter kan vi undersöka huruvida funktionen är växande eller avtagande för kringliggande x-värden.
Om en punkt till exempel är avtagande för lägre närliggande x-värden och växande för högre närliggande x-värden så vet vi att det är en minipunkt eftersom den bildar en dal. Samma sak gäller för maximipunkter, om funktionen är växande för lägre närliggande x-värden och avtagande för högre närliggande x-värden så bildas en topp och det medger att det är en maximipunkt.
Exempel. Funktionen f(x) = 4x^2 + 8x För funktionen f(x) ligger extrempunkten på (-1,-4) och funktionen har intervallen -2<x<2. Så för att ta reda på vilken sorts extrempunkt funktionen har så vill vi ta reda på om den är strängt växande eller avtagande på närliggande x-värden. Först kollar vi värdena för x-värden mellan extrempunkten och intervallets början, dvs -2. Vi stoppar in ett x-värde mellan -1 och -2 (t.ex -0,5) och då ser vi att värdet är högre än för extrempunkten vilket betyder att grafen är avtagande från -2 till -1 dvs derivatan är negativ. Vi gör detsemma mellan x-värdena -1 och 2. När vi stoppat in ett värde så ser vi att funktionen för x-värden större än -1 växer och att derivatan blir positiv. Vi skriver in dessa värden i vår teckentabell för att få en bättre syn över funktionens egenskaper kring derivatans nollpunkt.
För att ta reda på om en extrempunkt är max eller minimi så måste man först veta vilken x-koordinat punkterna har. Om vi vet ett x-värde så kan vi ta reda på om det är en max eller minipunkt genom att undersöka om närliggande punkter har växande eller avtagande. Om en punkt till exempel är avtagande för lägre närliggande x-värden och växande för högre närliggande x-värden så vet vi att det är en minipunkt eftersom den bildar en dal.
Table 1: Teckentabell
x -2 -2<x <-1 -1 -1<x <2 2 y(x) 0 avtagande -4 växande 32 y’(x) negativ negativ 0 positiv positiv
Funktionen är alltså avtagande ända fram till x=−1 och sedan växer den igen, detta formar en dal vilket betyder att denna extrempunkt är en minimipunkt.
Förutom teckentabell så kan man även använda andraderivatan för att ta fram extrempunkter.
Andraderivatan är precis vad namnet antyder, det är derivatan av derivatan.
Om du vet x-värdet för en extrempunkt och sätter in det i andraderivatan kan du enkelt ta reda på om det är en maximipunkt, minipunkt eller terrasspunkt beroende på om andraderivatan får ett negativt eller positivt värde. Om den får ett negativt värde så är det en maximipunkt, om det är ett positivt värde så är det en minipunkt men om det blir noll så kan det vara en terrasspunkt men då måste man undersöka närliggande x-värden för att ta reda på att det verkligen stämmer.
Ex. f(x) = 5x^3 + +10x^2 har ett extremvärde där x=-2 och x=0, är det maximi-,minimi eller terrasspunkter? Först tar vi fram derivatan för att sedan kunna ta fram andraderivatan f’(x) = 10x^2 + 20x Vi har redan x-värdena för funktionen så vi behöver inte sätta derivatan lika med 0. Istället tar vi fram andraderivatan. f”(x) = 20x + 20 Nu stoppar vi in våra x-värden f”(0) = 20*0 + 20 = 20 f”(-2) = 20*-2 + 20 = -20 Svar: Där x=0 är det en minipunkt för funktionen f(x) eftersom andraderivatan blev positiv och där x=-2 är det en maximipunkt för f(x) därför att andraderivatan blev negativ. [4]
Någonting vi inte har tagit upp ännu är hur man tar fram derivatan ur en sammansatt funktion. Det första sättet att göra detta på är genom kedjeregeln.
Denna regel innebär att du först deriverar den yttre funktionen och sedan multiplicerar det med inre derivatan. Om y= f(x) och u=g(x), då blir y= f(g(x)). Enligt kedjeregeln tar man då derivatan av hela funktionen, alltså f′(u) eller f′(g(x)) och sedan multiplicerar man detta med inre derivatan som då är g′(x). y′= f′(g(x))* g′(x).
Ex. Derivera y(x) = (5x−30)3 Som vi ser kan man skriva om denna sammansatta funktion till en yttre och en inre funktion y(x) = f(u) = f(g(x)) =f(5x−30) = (5x−30)3 Den yttre derivatan, eller f′(u) blir då derivatan av f(u). f(u) = u3 = (5x−30)3 f′(u) = 2u2 = 2(5x−30)2. Den inre derivatan däremot blir derivatan av funktionen g(x). g(x) = 5x−30 g′(x) = 5 Enligt kedjeregeln måste vi alltså multiplicerar den inre derivatan med den yttre derivatan. f′(u)·g′(x)= f′(g(x))·g′(x)= 5·3·(5x−30)2= 15(5x−30)2 Svar: y′(x)= 15(5x−30)2
Men alla funktioner går inte att lösa genom kedjeregeln utan ibland måste man använda sig av andra deriveringsregler. En utav dessa kallas produktregeln och denna används vid derivering av en funktior som kan ses av en produkt av andra funktioner. Dessa funktioner har formen y(x) = f(x)·g(x). Produktregeln säger att derivatan av y(x) har formeln y(x) = f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x) D.v.s. att man multiplicerar ena funktionen g(x) med derivatan av den andra funktionen f′(x) och sedan adderar det med den andra funktionen f(x) multiplicerat med derivatan av den första funktionen g′(x).
Produktregeln funkar till viss del även vid derivering med kvot av funktioner men ett bättre sätt att ta fram derivatan i dessa fall är genom kvotregeln. Kvotregeln fungerar alltså bara för funktioner skrivna i formen y(x) = g(x)/f(x) Kvotregeln innebär att då y(x)= g(x)/f(x) så är derivatan av y(x) y’(x)= (g’(x)*f(x)-g(x)*f’(x))/(f(x)^2) y’(x) är alltså lika med derivatan av täljaren multiplicerat nämnaren subtraherat med derivatan av nämnaren multiplicerat med täljaren och allt detta dividerat med nämnaren upphöjt till två. [4]
Vi som jobbar med detta projekt är: Lorkin Rosas Cuares, Youssef Taoudi, William Åkerman, Vincent Åström
This document was translated from LATEX by HEVEA.