\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{soul}
\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Namn Namnsson}
\lhead{Inlämningsuppgift 1}
\rfoot{Sida \thepage}

\title{SF1674 Inlämningsuppgift 1}
\author{Namn Namnsson}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{enumerate}
    \item[1.8] Avgör vilka av mängderna 
    \begin{align*}
    &M_1 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \right\}, \\
    &M_2 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x| + |y| < 1 \right\}, \\
    &M_3 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : \max \{|x|, |y|\} \leq 1 \right\}, \\
    &M_4 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| < 1/4 \right\}, \\
    &M_5 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 - 2x -4y < 11 \right\}, \\
    &M_6 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : |x + 2 y| \leq 2 \right\}, \\
    &M_7 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : y > x^2, 0 < x < 1, y \leq 1 \right\}, \\
    &M_8 = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 2 \leq -4 -4x -4y -x^2 - y^2 \right\},
    \end{align*}
    som är 
    \begin{enumerate}
        \item[a)] öppna
        
        \item[b)] slutna
        
        \item[c)] varken öppna eller slutna
        
        \item[d)] begränsade
        
        \item[e)] kompakta
        
    \end{enumerate}
    \newpage
    
    \item[1.17] Temperaturen i en punkt $(x,y,z)$ i en kropp är $$T(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+2x-2y$$ Beskriv nivåytorna för nivåerna 0, 1, 2 och 3.
    
    \begin{itemize}
        \item[Nivåyta 0:] 
        
        \item[Nivåyta 1:] 
        
        \item[Nivåyta 2:] 
        
        \item[Nivåyta 3:] 
        
    \end{itemize}
    \newpage
    
    \item[1.25] Avgör om följande gränsvärden existerar och beräkna dem i förekommande fall ($\vec{x} =(x_1,x_2,x_3), |\vec{x}|=({x_1^2+x_2^2+x_3^2})^{1/2}$).
    
    \begin{itemize}
        \item[a)] 
        \begin{align*}
            \lim_{\vec{x}\to\vec{0}} \frac{\sin |\vec{x}|^2}{|\vec{x}|^2 +x_1x_2x_3}
        \end{align*}
        
        \item[b)]
        \begin{align*}
            \lim_{\vec{x}\to\vec{0}} \frac{e^{|\vec{x}|^2}-1}{|\vec{x}|^2 +x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1}
        \end{align*}
        
        \item[c)]
        \begin{align*}
            \lim_{\vec{x}\to\vec{0}} \frac{\ln (1+|\vec{x}|^2)}{|\vec{x}|^2+\sin (x_1x_2x_3)}
        \end{align*}
        
    \end{itemize}
    
    \newpage
    \item[2.11] Bestäm tangentplanet i punkten $p=(1,1,5)$ till paraboloiden 
    $$z=x^2+4y^2$$
    
    \newpage
    \item[2.21] 
    \begin{itemize}
        \item[a)] Transformera uttrycket $\frac{\partial f}{\partial x}$ och $\frac{\partial f}{\partial y}$ genom substitutionen
        $$\begin{cases}
            u = x - ky \\
            v = x + ky
        \end{cases} \textnormal{där k är ett tal $\ne$ 0.}$$
        
        \item[b)] Bestäm den lösning $f(x,y)$ till differentialekvationen $$2\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = 0$$
        som uppfyller villkoret $f(x,0)=\sin x$.
        
        \textit{Ledning:} Gör substitutionen i a) och välj $k$ lämpligt!
    
    \end{itemize} 
    \newpage
    
    \item[2.34] Betrakta funktionen $f(x,y)=xy\sin x$ i punkten $(\pi/2, 1)$.
    \begin{itemize}
        \item[a)] I vilken riktning växer $f$ snabbast? Hur stor är tillväxten i den riktningen?
        
        \item[b)] Beräkna riktningsderivatan av $f$ i riktningen $(-3, 4)$.
        
        \item[c)] Bestäm tangentplanet till ytan $z=f(x,y)$ i den punkt där $x=\pi/2$ och $y=1$.
    \end{itemize}
\end{enumerate}


\end{document}
