\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{soul}
\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Namn Namnsson}
\lhead{Inlämningsuppgift 2}
\rfoot{Sida \thepage}

\title{SF1674 Inlämningsuppgift 2}
\author{Namn Namnsson}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{enumerate}

\item[2.52] 
Finn alla lösningar $u(x, y)$ till den partiella differentialekvationen
\begin{align*}
\frac {\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u}{\partial y^2} = x^2 + y^2
\end{align*} 
som bara beror av $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, d.v.s. är av formen $u(x, y) = f(r)$.

\newpage
    
\item[2.70] 
Funktionen $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ definieras genom 
\begin{align*}
f(x, y, z) = (x + xy + yz) e^x.
\end{align*}
Ange alla stationära punkter till $f$. Har $f$ någon lokal extrempunkt?

\newpage

\item[3.3] 
En partikel rör sig längs banan
\begin{align*}
x(t) = (\cos t, 2 \sin t, t), \quad t > 0.
\end{align*}
Bestäm partikelns
\begin{enumerate}
\item hastighet,
\item fart,
\item acceleration
\end{enumerate}
i punkten $(-1, 0, \pi)$.

\newpage
        
\item[3.14]
Avgör om matrisen 
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x - y &  -x \\
y & y + x
\end{pmatrix}
\end{align*}
är en funktionalmatris $\frac {\partial (f, g)}{\partial (x, y)}$. Bestäm i så fall $f$ och $g$.
    
    
\newpage
    
    
\item[3.31]
\begin{enumerate}
\item
Visa (med hjälp av implicita funktionssatsen) att villkoren
\begin{align*}
y^3 - 3 y = x, \quad y(0) = 0
\end{align*}
entydigt definierar $y=y(x)$ nära origo.
\item 
Bestäm koefficienterna $a_0, a_1, a_2$ i Maclaurinutveckligen
\begin{align*}
y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + x^3 B(x),
\end{align*}
genom implicit derivering.
\end{enumerate}
    
\newpage
    
\item[4.13]
Bestäm största och minsta värde för
\begin{align*}
f(x, y) = \frac {x^2 + 2y - 4}{x^2y}
\end{align*}
i det slutna, begränsade område som begränsas av kurvorna $y=x^2$, $y=1$ och $x=3$.


\end{enumerate}


\end{document}
