Institutionen för Matematik, KTH
Olle S.
5B 1116 Matematik II för IT, vt 2001.
I Matematik I studerade vi olika egenskaper hos funktioner av en
variabel : y=f(x), såsom kontinuitet, deriverbarhet, maxima och
minima, Taylorserier och så vidare.
I Matematik II fortsätter vi med att titta på
integraler av sådana funktioner:

Därefter övergår vi till funktioner av
flera variabler :
och lär oss vad
kontinuitet, deriverbarhet, maxima och minima samt Taylorutvecklingar
betyder för sådana funktioner--och finner till vår
lättnad att denna teori är en rättfram generalisering av
envariabelsteorien. Det vill säga: har man förstått den
senare ordentligt, så bjuder inte flervariabelsteorien på
några större problem.
Vi ska även titta på avbildningar där vi inte bara har
flera oberoende variabler
, utan även flera
beroende variabler
. Dock inskränker vi oss i
detta fall till att enbart studera lineära
funktioner. Dessa kan skrivas på följande sätt:

där aij är givna tal. Eller kortare:

där

medan

är en
-matris . Så vi behöver alltså
förstå vektorer och matriser.
Observera att om A och
är givna medan
söks, så betyder
ett lineärt
ekvationssystem . I fallet m=n kan det hända att A har en
invers A-1, och i så fall fås den unika lösningen
. Villkoret för att en
-matris har en invers är att dess så kallade
determinant är skild från noll--så vi måste
lära oss ett antal regler om determinanter också.
Kurslitteratur:
- E. Petermann: Analytiska metoder I ; nedan kallad
AmI . Här ingår kapitel 7 (utom 7.3.3 C, 7.3.5 och
7.3.6) samt avsnitten 8.1 och 8.2 i kapitel 8.
- E. Petermann: Övningsbok till Analytiska metoder I ;
nedan kallad ÖI .
- E. Petermann: Analytiska metoder II ; nedan kallad
AmII . Här ingår kapitel 1, 2, 3, 4 (utom 4.6.3), 5, 6
(utom 6.2), 7 och 8.
- E. Petermann: Övningsbok till Analytiska metoder II ,
nedan kallad ÖII .
- G. Wahde: Elementär linjär algebra ; nedan kallad
Ela . Här ingår allting utom avsnitten 1.15, 5.2, 5.3
och appendixet. Dessutom tillkommer en (kort!) stencil om minsta
kvadratmetoden, som kan hämtas på nätet:
http://www.math.kth.se/~eike/Mnstkvdrt.pdf
Observera att kursen definieras av ovanstående! Det
vill säga: det är precis detta stoff som undervisningen ska
förklara, och det är detta och ingenting annat som kommer på
tentamensskrivningen. Så kursens svårighetsgrad är fastlagd
av kurslitteraturen--och tentorna följer efter och lägger sig
på samma nivå.
Kursansvarig och föreläsare: Olle Stormark;
olles@math.kth.se
Lektionsledare:
- Timo Weidl grupp 1; weidl@math.kth.se
- Olle Stormark grupp 2 och 4; olles@math.kth.se
- Gunnel Roman grupp 3 och 5; gunnel@math.kth.se
Den ordinarie tentan går den 17:e april klockan 8-13. Sedan
följer omtentor i augusti och januari.
Två lappskrivningar ges under kursens gång--nämligen
under första timmen av lektionerna 3 respektive 6. Var och en av dessa ger
maximalt två bonuspoäng.
Här följer en preliminär plan över undervisningen.
De rekommenderade tal som ej hinns med i undervisningen bör
man göra själv . För har man förstått alla dessa
tal så är det väldigt svårt att inte klara
tentan .
- Föreläsning 1.
- Avsnitten 7.1, 7.2 och 7.3.1 i
AmI : integraler och primitiva funktioner. Rekommenderade tal
i ÖI : 601 aceiknpt.
- Föreläsning 2.
- Avsnitten 7.3.2 och 7.3.3 A,B i
AmI : integrationstekniker. Rekommenderade tal i
ÖI : 602 acgiln, 603 ace, 604 abcdj och 607 abg.
- Föreläsning 3.
- Avsnitten 7.3.4 och 8.1-2 i AmI :
generaliserade integraler, plana kurvor och
ytberäkningar. Rekommenderade tal i AmI : 7.22ad och 7.24;
i ÖI : 628ae, 701f, 702 och 712.
- Föreläsning 4.
- Avsnitten 1.1-1.10 i Ela :
vektorer, skalärprodukten samt räta linjer och
plan. Rekommenderade tal i Ela : 112, 134, 144, 145, 147, 150, 154
och 156.
- Föreläsning 5.
- Avsnitten 1.11-1.14 i Ela :
kryssprodukten, determinanten, lådprodukten och avstå
ndsberäkning. Rekommenderade tal i Ela : 163, 167bg, 168b,
171, 176b, 177b och 179b.
- Föreläsning 6.
- Kapitlen 1, 2 och 3 i AmII utom
vektorvärda funktioner och matriser (vilka uppträder i
föreläsning 11 istället): funktioner av flera variabler,
gränsvärden och kontinuitet. Rekommenderade tal i
AmII : 1.1ab, 1.2ab, 1.4a, 2.2, 2.3, 3.3abc och
3.4ab.
- Föreläsning 7.
- Avsnitten 4.1-4.5 i AmII :
partiella derivator. Rekommenderade tal i AmII : 4.4abcd,
4.6ab, 4.7a, 4.10ab och 4.13ab.
- Föreläsning 8.
- Avsnitten 4.6.1, 6.1, 6.3 och 6.4 i
AmII : riktningsderivatan, kurvor och ytor. Rekommenderade tal
i AmII : 4.10ab, 4.13ab, 4.14ab, 4.15, 6.1ac, 6.11ab och 6.12a.
- Föreläsning 9.
- Kapitel 2 samt avsnitten 3.1-4 i
Ela : matriser och determinanter. Rekommenderade tal i
Ela : 214bd, 217b, 218b, 221c, 227a, 231ab och 317.
- Föreläsning 10.
- Avsnitten 3.5, 4.1-4.4 samt 3.6 i
Ela : inversmatrisen och lineära
ekvationssystem. Rekommenderade tal i Ela : 323, 324, 402bd,
407a, 409bd, 410bd, 411de, 413ae, 421 och 326d.
- Föreläsning 11.
- Materialet om vektorvärda
funktioner och matriser i avsnitten 4.1-4.6 i AmII , samt
koordinattransformationer i 4.6.2. Rekommenderade tal i
AmII : 4.1abc, 4.5ac, 4.17abcd samt i ÖII : 405bd,
454, 456be och 461ag.
- Föreläsning 12.
- Kapitel 5 i AmII : inversa
funktioner och implicit definierade funktioner. Rekommenderade tal i
AmII : 5.1, 5.2, 5.3abc, 5.5abc samt i ÖII : 501a,
505a, 520 och 526.
- Föreläsning 13.
- Avsnitten 5.1 och 5.4-5 i Ela :
ortogonala matriser, egenvärdesproblem och symmetriska
matriser. Rekommenderade tal i Ela : 501ac, 502b, 505b, 517ac,
518ac, 519ab, 520 och 521ac.
- Föreläsning 14.
- Avsnitten 5.6-7 i Ela :
diagonalisering och kvadratiska former. Rekommenderade tal i
Ela : 524a, 525a, 527a, 530, 531ac, 532ac, 533ac och 534ac.
- Föreläsning 15.
- Kapitel 7 och avsnitten 8.1-2 i
AmII : Taylors formel samt max och min problem. Rekommenderade
tal i AmII : 7.1ac, 7.2a, 7.3a, 8.1acd och 8.2.
- Föreläsning 16.
- Avsnitten 8.3-8.5 i AmII :
lokala extremvärden utan och med bivillkor, samt en stencil om
minsta kvadratmetoden. Rekommenderade tal i AmII : 8.3bc, 8.6,
8.7, 8.17a, 8.8, 8.9 och 8.11. Rekommenderade tal i stencilen: 1.1a,
1.3a, 1.1f, 1.3f och 1.8.
Lektionerna ges i 3-timmarspass. Om tiden medger så bör
eleverna räkna själva under mittentimmen (med ypperliga
möjligheter att fråga om det som man kör fast på).
Rekommenderade tal för övningarna:
- Lektion 1.
- Från ÖI : 601bdhjloq, 602bdhkm,
603bdfi, 604efghiklmno och 607cdefh.
- Lektion 2.
- Från AmI : 7.22bc och 7.23b. Från
ÖI : 628bcd, 705, 706, 708, 712 och 713b. Från
Ela : 109, 110, 141, 142, 143 och 146.
- Lektion 3.
- Från Ela : 151, 152, 155, 157, 159, 160,
161, 162, 167acfg, 168ac, 170, 172ac, 173, 174, 176a, 177a, 179ac
och 180.
- Lektion 4.
- Från ÖII :
303b, 304, 305ab, 310ace, 415ab, 416abc, 417ab, 419ac, 420, 423,
426, 430, 433, 439, 440, 441, 443, 446 och 448.
- Lektion 5.
- Från ÖII : 601ac, 614, 615, 622 och
624. Från Ela : 214ac, 215ab, 217ad, 218a, 220a-f, 221a,
223, 225, 227b, 231cd, 232, 315ab, 316, 318ab och 320.
- Lektion 6.
- Från Ela : 402ac, 407a, 409ac, 410 ac,
411ac, 413bc, 415, 420, 429, 326ef och 322. Från ÖII :
401aceg, 405ace, 407ab, 408cd, 450, 451, 452a, 455, 456a, 457b och
461cn.
- Lektion 7.
- Från ÖII : 501bd, 505bc, 506, 509, 518,
521 och 528. Från Ela : 501bd, 502c, 503ad, 505c, 517bd,
518bd, 519cd, 521bd, 522bd, 524b, 525be, 526, 527bc och 528.
- Lektion 8.
- Från Ela : 531bdfh, 532bdfh, 533bdfh och
534bdfh. Från ÖII : 701ab, 702ab, 704a, 801bdhkmp,
802b, 812bde, 815ac, 819a, 822ab, 824 och 838abfh. Från
AmII : 8.17b och 8.19b. Från stencilen: 1.1e, 1.3e, 1.1h,
1.3h och 1.9.
Observera till slut att den som inte tar till vara möjligheten att
fråga lärarna faktiskt får skylla sig själv om
det går dåligt på tentan.
Lycka till!
Olle.
Olle Stormark
12/11/2000