1. Myntveksling.
Anta at du i et land bare har to myntsorter. Prosjektet består i å finne hvilke priser du kan sette på varene i landet for at du skal kunne betale varene med et eksakt antall mynter. For eksempel om du starter med myntsorter av valørene 5 og 9 så kan du betale følgede beløp: 5,9,10,14,15,18,19,20,23,24,25,27,28,29,30, 32, 33, 34, 35, 36,... og alle etterfølgende beløp. Ved å regne et stort antall eksempler kommer du til å se vakre symmetrier, og samband, og kanskje også finne formler for minste beløpet du ikke kan betale, eller det totale antallet priser du ikke kan betale. Dette prosjektet kan behandles helt eksperimentelt. Det egner seg utmerket som et samspill mellom eksperimenter, på datamaskin eller for hånd, og teoretiske betraktninger. Teorien som kan brukes tilhører elementær tallteori som du kjenner igjen fra din lærebok. Skal du gå videre og betrakte tre eller flere myntsorter kommer du fort til forskningsfronten, og du må lære mer teori. Den kjente tyske maematikeren F.G. Frobenius (1849-1917) fremhevet ofte at problemstillingene du tangerer i dette prosjektet er interessante og oppstår naturlig i mange ulike forbindelser i matematikken og dens anvendelser. Han var imidlertid klar over at problemet i full generalitet var megt vanskelig og at man ikke kan vente å finne eksplistte uttrykk for de tallene man betrakter. Prosjektet egner seg utmerket for samarbeide i grupper. Både eksperimentene og teorien kan diskuteres av gruppen, og hver elev i gruppen kan redegjøre for sitt syn på resultatene. Det er viktig å ha en lærer som kan hjelpe med å formulere de teoretiske delene av prosjektet.

Anta at du i et land bare har to myntsorter. Prosjektet består i å finne hvilke priser du kan sette på varene i landet for at du skal kunne betale varene med et eksakt antall mynter. For eksempel om du starter med myntsorter av valørene 5 og 9 så kan du betale følgede beløp:
5,9,10,14,15,18,19,20,23,24,25,27,28,29,30, 32, 33, 34, 35, 36,...
og alle etterfølgende beløp.
Ved å regne et stort antall eksempler kommer du til å se vakre symmetrier, og samband, og kanskje også finne formler for minste beløpet du ikke kan betale, eller det totale antallet priser du ikke kan betale.
Dette prosjektet kan behandles helt eksperimentelt. Det egner seg utmerket som et samspill mellom eksperimenter, på datamaskin eller for hånd, og teoretiske betraktninger. Teorien som kan brukes tilhører elementær tallteori som du kjenner igjen fra din lærebok. Skal du gå videre og betrakte tre eller flere myntsorter kommer du fort til forskningsfronten, og du må lære mer teori.
Den kjente tyske maematikeren F.G. Frobenius (1849-1917) fremhevet ofte at problemstillingene du tangerer i dette prosjektet er interessante og oppstår naturlig i mange ulike forbindelser i matematikken og dens anvendelser. Han var imidlertid klar over at problemet i full generalitet var megt vanskelig og at man ikke kan vente å finne eksplistte uttrykk for de tallene man betrakter.
Prosjektet egner seg utmerket for samarbeide i grupper. Både eksperimentene og teorien kan diskuteres av gruppen, og hver elev i gruppen kan redegjøre for sitt syn på resultatene. Det er viktig å ha en lærer som kan hjelpe med å formulere de teoretiske delene av prosjektet.

2. Primtall.
Primtallene 2,3,5,7,11, 13, 17,19, 23,... er fundamentale byggestener i matematikken, og alle gymnaselever kommer i kontakt med dem. Prosjektet går ut på å finne primtall og beskrive deres egenskaper. Det finnes både flere tusen år gamle metoder for å finne primtall, og metoder som ble funnet for bare noen år siden. For mange tekniske anvendelser, som i koder, er det av største viktighet å kunne finne primtall. Prosjektet kan behandles helt eksperimentelt, men egner seg best som et samspill mellom teoretiske og eksperimentelle metoder. Et eksempel på en teoretisk behandling er å bevise at det finnes uendelig mange primtall, eller å vise at hvert tall entydig kan skrives som et produkt av primtall. Allerede Euclid (~ 325-~265) kjente et bevis for at det finnes uendelig mange primtall, og dette beviset er en utmerket illustrasjon på matematisk bevisføring, som alle som liker matematikk har glede av å forstå. Beviset reiser også flere teoretiske spørsmål. Det finnes også et kjent bevis av den kjente matematikeren Euler (1707-1783), som på en meget vakker måte blander tallteori og analyse, og som har hatt en enorm betydelse for utviklingen av matematikken. Eksperimentelt kan man for eksempel verifisere at hvert jevnt tall større enn 2 kan skrives som en sum av to primtall. For eksempel har vi 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5=7+3, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11=7+9,.... At det er mulig å fortsette denne tabellen er en av de mest kjente formodningene i matematikken, og et bevis ville være en stor sensasjon. Formodningen ble fremsatt av Goldbach i 1742 og mange av de aller fremste matematikerne har prøvd å bevise at påstanden er sann.

2. Primtall.

Primtallene 2,3,5,7,11, 13, 17,19, 23,... er fundamentale byggestener i matematikken, og alle gymnaselever kommer i kontakt med dem. Prosjektet går ut på å finne primtall og beskrive deres egenskaper. Det finnes både flere tusen år gamle metoder for å finne primtall, og metoder som ble funnet for bare noen år siden. For mange tekniske anvendelser, som i koder, er det av største viktighet å kunne finne primtall.
Prosjektet kan behandles helt eksperimentelt, men egner seg best som et samspill mellom teoretiske og eksperimentelle metoder. Et eksempel på en teoretisk behandling er å bevise at det finnes uendelig mange primtall, eller å vise at hvert tall entydig kan skrives som et produkt av primtall. Allerede Euclid (~ 325-~265) kjente et bevis for at det finnes uendelig mange primtall, og dette beviset er en utmerket illustrasjon på matematisk bevisføring, som alle som liker matematikk har glede av å forstå. Beviset reiser også flere teoretiske spørsmål. Det finnes også et kjent bevis av den kjente matematikeren Euler (1707-1783), som på en meget vakker måte blander tallteori og analyse, og som har hatt en enorm betydelse for utviklingen av matematikken.
Eksperimentelt kan man for eksempel verifisere at hvert jevnt tall større enn 2 kan skrives som en sum av to primtall. For eksempel har vi
6=3+3, 8=3+5, 10=5+5=7+3, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11=7+9,....
At det er mulig å fortsette denne tabellen er en av de mest kjente formodningene i matematikken, og et bevis ville være en stor sensasjon. Formodningen ble fremsatt av Goldbach i 1742 og mange av de aller fremste matematikerne har prøvd å bevise at påstanden er sann.

Last updated May 9, 03.

laksov@math.kth.se