SAMMANFATTNING

Johannes Bergström
Primtal                                                                              16 sidor             

Ett primtal är ett heltal större än 1 som inte har andra positiva heltal som divisorer än sig själv och 1.

Redan de gamla grekerna roade sig med att studera primtal. Primtal och deras egenskaper har länge varit ett central del av metematiken och man har upptäckt en massa saker om dem under de senste 2 500 åren. Men som med alla andra områden inom matematiken finns det fortarande mängder av frågor som fortfarande är obesvarade. I det här arbetet har jag valt att skriva kort om några upptäckter som gjorts om primtal, för att sedan fördjupa mig i några klassiska bevis som rör primtal.   

Jag valde att skriva mitt projektarbete om någonting inom matematik eftersom jag gillar matte oerhört mycket. Jag har alltid varit intresserad av primtal, så när mina handledare föreslog det som arbetsområde tyckte jag att det lät som en bra ide.



Frågeställning

Vilka är de viktigaste framsteg som gjorts inom sökandet efter primtal och dess egenskaper?

Hur många primtal finns det, och hur visar man det?

Är den harmoniska serien    + ....... konvergent eller divergent, dvs går den mot ett bestämt värde eller kan den anta ett hur stort värde som helst? Vilket värde är detta, alternativt med vilken hastighet divergerar den? Hur visar man detta?


Är Summan av inverserna av alla primtal  konvergent eller divergent, dvs går den mot ett bestämt värde eller kan den anta ett hur stort värde som helst?
Vilket värde är detta, alternativt med vilken hastighet divergerar den? Hur visar man detta?

Jag har läst fakta, bearbetat den och skrivit ned den.

Vi har lärt oss en hel del om primtal sedan 500 f.kr.

Det finns oändligt många primtal

Den harmoniska serien divergerar.  är växer ungefär som ln( x )

Summan av inverserna av alla primtal    där  är det största primtalet mindre eller lika med x divergerar snabbare än  ln(ln( x)).

Bevisen var alla intressanta samt geniala och nytänkande när de skrevs, och utan dessa skulle matematiken inte vara där den är idag.

Det har varit lärorikt att skriva detta projektarbete, även fast det har varit jobbigt till och från.

Nyckelord:   Harmonsika serien, konvergerar, divergerar, primtal .

Johannes Bergström                                                                                     Handledare

Tobaksspinnargatan 4                                                                                  Dick Andersson

tfn 08-669 20 53                                                                                         Dan Laksov, KTH

1. INLEDNING                                                                            
            1.1. Syfte                                                                                              
           1.2. Frågeställning                                                                                   

2. MATERIAL OCH METODER                                                            
            2.1 Litteratur                                                                                                                    
   

3. RESULTAT                                                                             
               3.1. Primtalens historia                                                                          
            3.2. Den harmoniska serien                                                                    
            3.3. Eulers bevis för att det finns oändligt många primtal                        
            3.4. Summan av inverserna av alla primtal                                              

4. DISKUSSION                                                                                         

5. LITTERATUR OCH KÄLLFÖRTECKNING                                  

1. INLEDNING

Ett primtal är ett heltal större än 1 som inte har andra positiva heltal som divisorer än sig
själv och 1. Redan de gamla grekerna roade sig med att studera primtal. Primtal och deras egenskaper har länge varit ett central del av metematiken och man har upptäckt en massa saker om dem under de senste 2 500 åren. Men som med alla andra områden inom matematiken finns det fortarande mängder av frågor som fortfarande är obesvarade. I det här arbetet har jag valt att skriva kort om några upptäckter som gjorts om primtal, för att sedan fördjupa mig i några klassiska bevis som rör primtal.   

1.1. Syfte

Jag valde att skriva mitt projektarbete om någonting inom matematik eftersom jag gillar matte oerhört mycket. Jag har alltid varit intresserad av primtal, så när mina handledare föreslog det som arbetsområde tyckte jag att det lät som en bra ide.

1.2 Frågeställning
Vilka är de viktigaste framsteg som gjorts inom sökandet efter primtal och dess egenskaper?

Hur många primtal finns det, och hur visar man det?

Är den harmoniska serien    + ....... konvergent eller divergent, dvs går den mot ett bestämt värde eller kan den anta ett hur stort värde som helst?

Vilket värde är detta, alternativt med vilken hastighet divergerar den? Hur visar man detta?

Är Summan av inverserna av alla primtal  konvergent eller divergent, dvs går den mot ett bestämt värde eller kan den anta ett hur stort värde som helst?
Vilket värde är detta, alternativt med vilken hastighet divergerar den? Hur visar man detta?

2. MATERIAL OCH METODER

2.1 Litteratur

Jag valde att hämta information från Dan Laksovs två kompendier "Hva Bör gymnaslärere vite om primtall" (2001) och "Hvor mange primtall finnes det?" (1996). Där går går han igenom en mängd satser och bevis relaterade till primtal. De gav mig en bra grund för bevisen som jag sedan utvecklade och beskrev mer detaljerat.

Internet: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html. Artikel av J J O'Connor och E F Robertson. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Mycket bra sammanfattning av primtalens historia. Mycket av informationen om primtalens historia hittade jag på denna sida.

Internet: The prime pages, http://primes.utm.edu/, av Professor Chris Caldwell, Department of Mathematics and Statistics, University of Tennessee. Här finns en mängd länkar till en massa intressant information om primtal. Här hämtade jag resten av informationen om primtalsens historia samt lite smått och gott som står bland bevisen.

3. RESULTAT

3.1. Primtalens hisoria

Ett primtal är ett heltal större än 1 som inte har andra positiva heltal som divisorer än sig
själv och 1. Primtal och dess egenskaper undersöktes av matematikerna i antika Grekland. Matematikerna av Pythagoras skola (500 f.Kr. till 300 f.Kr) var intresserade av siffror för deras speciella och mystiska egenskaper. De förstod vad ett primtal var och var även mycket intresserade av perfekta och vänskapliga tal. Ett perfekt tal är ett tal vars divisorers summa bildar talet själv (t.ex. ). Ett par vänkapliga tal är tal vars divisorer bildar summan av det andra talet och vice versa.

När Euclides Elementa  kom 300 f.Kr hade mycket viktigt om primtal bevisats. I bok   IX  av Elementa , bevisar Euklides att det finns oändligt många primtal samt att varje heltal kan skrivas på ett unikt sätt som en produkt av primtal.

Så har kan Euklides bevis för att det finns ett oändligt antal primtal sammanfattas:

Anta att , , , ......  är alla primtal.

Vi bildar nu talet  ....... . Inget av   , ,   , ......    kan dela Q, eftersom de då måste dela 1, vilket är omöjligt.
Varje primtal som delar Q är därför olika ,   ,    ...... , vilket sitrider mot antagandet att dessa är alla primtal. Vi drar slutsatsen att givet ett ändligt antal primtal finns det alltid ett primtal primtal som är olika dessa. Det finns oändligt många primal.

Euklides bevisade även att om  är ett primtal är ocks  ett perfekt tal. Euler bevisade (mycket senare, år 1747) att alla jämna perfekta tal är på denna form. Finns det några udda perfekta tal? Det vet vi inte. Vi har hittils inte hittat något, men ingen har heller inte bevisats att det inte finns några.

År 200 f.Kr utveclade Eratosthenes en algoritm för att hitta primtal - Eratosthenes  såll. Gör så här: skriv upp alla tal från 2 och så långt du vill hitta primtal. Ringa in tvåan samt stryk alla tal som är delbara med 2. Gå vidare och ringa in trean samt stryk alla tal som är delbara med 3. Gå sedan vidare till nästa ostruckna dal, dvs 5, ringa in det och stryck alla tal som är delbara med 5. Fortsätt så tills alla tall är antingen strukna eller inringade. De talen som då är inringade är primtal. (Se bilaga 1.)

Sedan hände det ju inte särskilt mycket inom forskning på många hundra år tills barocken kom. Då bevisade Fermat att varje primtal på formen  kan skrivas på ett unikt sätt som en summa av två kvadrater samt att alla tal kan skrivas som en summa av fyra kvadrater. Han bevisade även det som skulle komma att kallas Fermats lilla sats, dvs. att om p  är ett primtal är  = a  (mod p ) för något alla heltal a . Denna sats utgör grunden för en mängd andra resultat inom matematiken, samt för andra metoder för att testa om tal primtal som används i datorer idag. Den har även möjliggjort en mängd praktiska tillämpningar som t.ex. RSA-kryptering och genom det säker kommunikation för underrätelsetjänster samt privatpersoner på t.ex. Internet.

Fermat korrensponderade med andra samtida matematiker, specielt med munken Marin Mersenne. I ett av sina brev till Mersenne skrev Fermat att alla tal på formen  alltid var primtal. Han hade verifierat detta upp till . Primtal på denna form kallas Fermatprimtal, men mer än 100 år senare visade Euler att för , dvs. , får vi inte ett primtal, då detta är delbart med 641.

Tal på formen  är intressanta. Det är lätt att visa att om n  inte är ett primtal är heller inte  det. Detta tal är inte alltid ett primtal då n  är det, fastän det påstods så sent som 1536. Det ät faktiskt väldigt sällsynt med sådana tal. Dessa tal kallas ofta Mersenne-tal, , och har länge varit de största kända primtalen. År 1588 bevisade Cataldi att  var ett primtal. Detta tal var det största primtalet i ca 200 år till Euler bevisade att  var ett primtal. Det skulle dröja ytterligare 100 år innan Lucas visade att  (vilket består av 39 siffror) var ett primtal. Detta skulle vare rekordet enda tills datorerna uppfanns, vilket öppnade möjligheterna för att testa ännu större tal. 1952 visade Robinson att , , ,  och  var primtal. Det största av dessa tal har 687 siffror. Idag har 40 Mersenne-primtal upptäckts. Det största av dessa, , upptäcktes år 2003 med hjälp av GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) och består av hela 6,320,430 siffror.

Euler gjorde mycket för matamatiken. T.ex. så factoriserade han det 5:e Fermattalet , hittade 60 par vänskapliga tal, formulerade ett bevis för att det finns oändligt många primtal som skulle ha stor betydelse för den framtida matematiken, visade den harmoniska serien  + ...... divergent samt att summan som vi får genom att summera inverserna av alla primtal:    + ......... även den divergerar. De tre sista av dessa bedrifter återkommer jag senare till.

Vid första anblicken ser primtalen ut att vara utspridda helt slumpmässigt, t.ex. i de 100 talen före 10 000 000 finns 9 primtal, fast i de 100 följande talen endast 2. Ur ett större perspektiv är de dock ganska jämnt utspridda. 1896 bevisade Hadamard och de la Vallée den så kallade primtalssattsen, som säger att , antalet primtal mindre eller lika med  n , växer ungefär som     .
 

3.2. Den harmoniska serien

Vi har den harmoniska serien  + ....... Vi ser att termerna blir mindre och mindre samt att de går mot noll då n  går mot oändligheten.

Nu är frågan: Divergerar denna serie, dvs blir summan bara större och större och kan den anta ett hur stort värde som helst? I så fall: hur snabbt går detta?

Om den inte divergerar, så konvergerar den, dvs. den går mot ett visst värde och kan aldrig bli större än detta. I så fall: vilket värde är detta?

Vi börjar med att avgöra om den konvergerar eller divergerar.

Vi har att

 =  + ........ >  + ....... =  + ....... ,vilket helt klart divergerar, även om antalet termer som tillsamman bildar summan   växer oerhört snabbt. Summan växer obegränsat ju fler termer vi tar med, och den kan anta hur stort värde som helst. Den divergerar.

Nu är bara frågan: Hur snabbt går detta?

Vi börjar med att definiera heltalet a, vilket är bestämt av

   < a  + 1                                (2)

dvs. vi avrundar x  nedåt till närmsta heltal för att få a .      

Vi skall då visa att  < ln( x ) <              (3)

Bevis:

Vi börjar med att studera grafen för  .

Vi har att arean under trappan under kurvan    med steglängden 1 är

 + .........+  =  .  (Se bilaga 2,    ; trappan under kurvan)

Detta ger tillsammans med (2)  att

 <  = [ ln(t) ] =  < ln(x)

Vi ser då även att arean under trappan över kurvan  med steglängden 1 är

 + ....... +  =  . (Se bilaga 3,    ; trappan över kurvan)

Detta tilssamanns med (2)  betyder att

 >    = [ ln(t) ]  =  >

alltså  >

Vi får då alltså att

   <         

Nu vet vi alltså hur snabbt den harmoniska serien divergerar och

vi kan konstatera att den gör det ganska långsamt.

Vi har även att

(3)  ger då att

 <

 >  >

Då kan vi snabbt räkna ut att t.ex.

 >  >

 >  >

Eller så kan vi kolla att

 >  >

 >  >

3.3. Eulers bevis för att det finns oändligt många primtal

Vi ska nu titta på Eulers bevis för att det finns oändligt många primtal. Vi måste dock börja med att visa att den öändliga talserien

 + .......      konvergerar mot     

Bevis:

vi sätter

   + ......

 + ......

 + ........ =

Nu till själva beviset att det finns oändligt många primtal.

Antag att det finns ett ändligt antal primtal   ,   ,    ......

Vi bildar produkten   =        ........  =

= (  + ........ ) (  + ........ )  .............. (  + ......... ) =

=  + ........ +  + ........ +  + ...........          (1)

I denna serie utgörs nämnarna av alla naturliga tal som är delbara med ,   ,    ...... .

Om ,   ,    ......  är alla primtal blir nämnarna i   (1)  lika med alla naturliga tal.

Då blir (1)  lika med  ....... =

Men detta är ju den harmoniska serien, och den har vi redan bevisat divergent, dvs. den går mot oändligheten när vi tar med fler och fler termer. Men produkten  är ju en produkt av ett ändligt antal ändliga tal, och en sådan produkt kan inte vara öändlig. Antagandet att det finns ett ändligt antal primtal är fel och vi drar slutsatsen att det finns oändligt många. Uttrycket    närmar sig 1 ovanifrån då  växer, så då kan man åckså tänka så att om  ska vara oändligt stort måste den innhålla oändligt många termer, alltså oändligt många primtal.

3.4. Summan av inverserna av alla primtal

Om vi nu tittar på summan  för alla .

 =   ........   där  är det största primtalet mindre eller lika med x .

Då ser vi att denna serie växer långsammare, ja till och med mycket långsammare än den harmoniska serien.

Det återstår två alternativ för  . Det är ju möjligt att den konvergerar, eftersom det enda vi vet om den är att den växer långsammare än den harmoniska serien. Då kan man fråga sig vilket värde den då konvergerar till.

Men det är åckså möjligt att den divergerar. I så fall så divergerar den orerhört långsamt, men hur långsamt?

Vi börjar med att konstatera att derivatan av ,    =  = f'(x)/f(x)

För        har vi att                      (4)

vilket betyder att     

för x  = 0 är  = 0

Derivatan  =

För 0      är denna alltid positiv, ty

 < 0  ger

2 <

 >

 >

Och om derivatan alltid är positiv eller lika med noll kan funktionens värde äldrig minska, alltå är , eller   för 0     .

(jmf. Bilaga 4: kurvan y = . Bilaga 5: kurvan y =     )

(3)  ger oss att

men eftersom alla  kan skrivas som en prudukt av alla  så måste

   <  + ........ +  + ........ +  + ........... då vi i högerledet dessutom har ytterligare ett oändligt antal tal med nämnarna större än . (Som t.ex ,  osv.)

men

 + ........ +  + ........ +  + ......... =    *  * .........  =

alltså  för alla  mindre eller lika med x .                      (5)  

Hur snabbt växer då  ?

Vi anväder oss nu av (4)  och sätter

 =     

Vi använder nu logaritmlagarna  samt ln(   ...... ) =  ........  och får att

 =  =  

Vi använder nu (5)  och får att

   >  

Alttså  >   , där  är det största primtalet mindre eller lika med x.

Nu vet vi att  divergerar och att den gör det väldigt långsamt. Men det är inte som med den harmoniska serien att vi vet två värden som summan ligger i mellan, utan i detta fall har vi bara ett minsta värde, sen hur mycket större summan egentligen är det vet vi inte.

Om vi t.ex. tar summan   för all    mindre än  , vilket är väldigt många primtal (ca  enligt primtalssatsen), så vet vi att

 >  

 >

Den kan ligga precis över eller mycket över, det vet vi inte.

Jag har själv testat för alla primtal upp till och med 101 och den summan

 + ........ +  = 1.76924

samtidigt blir      = 0.76467, dvs inte ens hälften av den verkliga summan. Givetvis kan man inte med hjälp av detta säga hur nära  kommer

     för mycket större x . Om vi skulle summera inverserna av alla kända primtal skulle vi få en summa på ca 4.

4. Diskussion

Vanligtvis så gillar jag inte historia särskilt mycket, men att lära sig om primtalens historia tyckte jag faktiskt var riktigt intressant. Denna del hade jag tänkt som en inledning till själva bevisen och jag tycker den har uppfyllt sitt syfte bra. Vad de gäller bevisen så tycker jag alla var intressanta, även fast Eulers bevis för att det finns oändligt många primtal kanske inte var riktigt lika avancerat som de andra. De var alla naturligtvis geniala och nytänkande när de skrevs, och utan dessa skulle matematiken inte vara där den är idag.

Det har varit lärorikt att skriva detta projektarbete, även fast det har varit jobbigt till och från och jag tror att man alltid kan lära sig mer saker på kortare tid om man slipper skriva ned det och redovisa det så noga. Jag tyckte att jag fick väldigt bra svar på mina frågeställningar utan att behöva stressa allt för mycket på slutet, även om derivatan för hur mycket tid jag arbetade per vecka helt klart var positiv.

5. Litteratur och källförteckning

Laksov, Dan. 2001. Hva Bör gymnaslärere vite om primtall?  (kompendium)

Laksov, Dan. 1996. Hvor mange primtall finnes det?  (kompendium)

Internet: O'Connor, J J/Robertson , E F . http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html.  School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. (031117)

Internet: Caldwell, Chris. http://primes.utm.edu/ . The prime pages. Department of Mathematics and Statistics, University of Tennessee. (031117)

Bilaga 1.

Bilaga 2.
 

Bilaga 3.

Bilaga 4.

>

Bilaga 5.

>