| Leseplan. |
|---|
| Klassisk kurs. |
|---|
| Kap. P. Dette kapittelet utgjør innledende kurs i matematikk. I kapittelet beskrives hvilke bakgrunnskunnskaper som forutsettes. |
| Kap. 1. Kontiunitet og grenseverdier. Appendix III. Kontinuerlige funksjoner. |
| 1.1 Dette avnsnittet er av orienterende og motiverende karakter. |
| 1.2-1.3 Grenseverdibegrepet er fundamentalt i kurset. Du skal danne en intuitiv oppfatning om hva som menes med grenseverdi resp. ensidig reenseverdi for en funksjon i et punkt (1.2) og i uendeligheten (1.3). Test deg selv på noen av oppgavene i læreboken. Vær ikke bekymret om du synes det er vanskelig å komme på hvilke knep som leder til fremgang; senere i kurset kommer du til å bli kjent med meget kraftfulle metoder for å beregne grenseverdier. Tenk igjennom om/hvordan du anvender Sats 1 resp. Sats 2 (s. 64-65) i dine beregninger. |
| 1.4 I dette avsnittet defineres kontinuerlige funksjoner:
Def. 5-8 og Sats 4, s. 76-78. De vanlige funksjonene er
kontinuerlige: Nedre delen av s. 78 samt Sats 6-7, s. 79. Sats 8, s. 80 er meget viktig. Man bør forstå at satsen ikke holder om man endrer noen av forutsetningene, og hvorfor det er slik; se fig. 1.24-1.27. Sats 9 satsen om mellenliggende verdier, anvendes i anvendelser for å aproksimere røtter i likninger |
| 1.5 Du bør forstå de formelle definisjonene 9-11 i lyset av de informelle. |
| Appendiks III gir en teoretisk grunn for Kapittel 1 og må leses nøye. |
| Kap. 2. Derivasjon. |
| 2.1 I dette avsnittet forberedes innføringen av den deriverte gjennom en diskusjon av stigningsforholdet (slope) til tangentlinjer for kurver. Det meste bør være kjent fraa gymnaset, men, noter formelen for normalens stigningsforhold, s. 107. |
| 2.2> Def. 4. Du bør i enkle eksempel kunne beregne de dervierte utgående fra definisjonen. Les om Leibniz' betegninger og differensialer, s. 107. |
| 2.3 Du skal vite at deriverbarhet medfører kontinuitet (Sats 1, s. 110). Derivasjonsreglene i Sats 2-5 må man beherske; det finnes ikke noen unnskyldning for å gjøre feil her. Derivasjonsreglene skal sitte i ryggmargen. |
| 2.4 Kjederegelen, Sats 6, s. 119, er en hjørnesten i differensiallregningen og må beherskes aktivt. |
| 2.5 Med hjelp av grenseverdien av forholdet sin
t/t når t
går mot null (Sats 8, s. 124), kan man utlede den deriverte til
sinusfunksjonen. Trigonometriske formler, sammen med derivasjonserglene
uttrykk for de deriverte til consinus-, tangens- og
kotangensfunksjonene, som man også skal kunne. Anm. I engelspråklig
litteratur anvendes ofte sekantfunksjonene sec |
| 2.6 Middelverdisatsen (Sats 11, s. 131) er meget
viktig. Satsens geometriske betydelse fremgår av figur 2.25. Figur
2.26 på samme side viser at man ikke kan endre på noen av satsens
fourtsetninger. Ved hjelp av middelverdisatsen kan man dra konklusjoner om en funksjon er avtangende/voksende (disse begrepene innføres i def. 5) om man vet tegnet til den deriverte i et intervall. Det viktigste for anvendelser er akkurat dette, formulert i Sats 12, s. 134. Det er lett å overbevise seg om at middelverdisetningen gjelder i det tilfellet da funksjonen antar like verider i endepunktene til invervallet (Rolles sats, s. 134). Noter at man her behøver satsen om største og minste verdi (maks/min Sats 8, s. 80). Av Rolles sats får man middelverdisatsen gjnnom en slags variabelbytte; se fig. 2.30, s. 136. |
| 2.7 Det kan være bra å skumme igjennom dette avsnittet for å bli kjent med noen av anvendelsene av den deriverte. |
| 2.8 Høyere ordens deriverte innføres på en naturlig måte. |
| 2.9 Eksemplene 1-6 illustrerer hvordan man bestemmer den deriverte til en funksjon y=f(x) når funksjonen gies av likningen F(x,y)=0. |
| 2.10 Den antideriverte (primitiv funksjon), def. 7, og ubestemte integraler, def. 8. Differensiallikninger og begynnelsesverdiproblem, s. 157. |
| 2.11 Hastighet, fart og akselerasjon. Les eksemplene 1-6. |
| Kap. 3. Transcendente funksjoner. |
| 3.1 Inverterbare (one-to-one) funksjoner, def. 1. Invers funksjon, def. 2, og dens egenskaper, s. 175. Figurene 3.3-3.5 viser hvordan man får frem inversen gjennom å spegle funksjonen i linjen y=x. Inversens deriverte, midt på s. 177 og forklarende figur 3.6. |
| 3.2 Ingår i innledende kurs. Repeter gjerne avsnittet. |
| 3.3 Her innføres logaritmefunksjonen som arealet av et område mellom kurven y =1/x og x-aksen. Man viser (Sats 1 at logaritmen til x er den primitive funksjonen til 1/x som antar verdien 0 for x=1. Eksponensialfunksjonen innføres som den inverse til logaritmen og eksponensiallovene (Sats 3) følger av logaritmelovene. Man definerer tallet e gjennom e=exp 1 og viser at exp x er lik e ophøyet i x'te. Sambandet (def. 7) er viktig. Noen gang kan du ha bruk for logaritmisk derivasjon (Eksemplene 8-10). |
| 3.4 Eksponsiell og logarimisk tilvekst: Sats 5, og sammenfatningen i ruten på s. 194. Funksjonen exp x som grenseverdi i (Sats 6). |
| 3.5 Sinus og andre trigonometriske funksjoner er periodiske og dermed ikke inverterbare: alle verdienen antas jo uendelig mange ganger. Gjennom å betrakte dem på lempelige delintervaller, kan man invertere. På denne måten får man arcusfunksjonene (def. 9, 11 og 12 samt fig. 3.18, 3.22 og 3.25(a)). De deriverte av arcusfunksjoner (s. 203, 206 og 208). Avsnittet bør leses med ordentlig ettertanke. (Invere til sekantfunksjonen, s. 208-209 inngår ikke.) |
| Kap. 17. Ordinære differensiallikninger. |
| 17.7 Karakteristiske likninger (**), s. 1008. Beroende på hvordan de karakteristiske røttene ser ut, oppstår tre tilfeller (s. 1008-1009). De kan beskrives som (I) ulike reelle røtter, (II) sammenfallende reelle røtter, samt (III) ikke -reele røtter. Les eksempelene 1-5. |
| 17.8 Den almenne løsningen til en inhomogen likning er summen av en vilkårlig løsning (partikulærløsning), og den almenne løsningen til den tilsvarende homogene likningen. Forslag til partikulære løsninger (i enkle tilfeller) gies i ruten på s. 1018. Resonans på s. 1019. (Variasjon av parametrene, s. 1020-1021 inngår ikke.) |
| Kap. 4. Anvendelser av deriverte. |
| 4.1 Ingår ikke. Det kan i alle fall være bra å skumme igjennom eksemplene 1-6 |
| 4.2 Ekstremalverdier: Def. 1 (globale), Def. 2 (lokale). Kritiske punkter, singulære punkter. Sats 1, s. 234 er maks/min satsen fra kap. 1 (s. 80). Sats 2 (s. 235) og Sats 3 (s. 236) er meget viktige. De gir en metode for å finne største og minste verdien til en kontinuerlig funksjon på et lukket og begrenset intervall. |
| 4.3 I dette avsnittet inngår bare andre-deriverte-testen, Sats 6, s. 244. |
| 4.4 Bare assymptotebegrepet, Def. 5-7. Les eksempel 1-5. |
| 4.5 I avnittet behandles ostrukturerte maks/min-problemer. Man må selv formulere problemene matematisk. |
| 4.7 Formelen for lineær approximasjon (dvs. approksimasjon av en funksjonsgraf med dens tangentlinje) ifølge Def. 8, s. 274. Feilen med approksimasjonen ifølge Sats 9, s. 275. |
| 4.8 Taylors formel, Sats 10, s. 2.82, er en generalisering av lineær approksimasjon. Denne gangen approksimeres funksjonen med et polynom av høyere grad. Størrelsen på resttermen i en Taylorutvikling kan på en bekvem måte beskrives ved hjelp av stort ordobegrepet (big-O, def. 9). Utviklingene i ruten på s. 286 skal memoreres. |
| 2.8 T.o.m. eksempel 2. |
| 4.9 l'Hopitals regel (Sats 12, s. 290 og Sats 13, s. 292) er det viktigste verktøyet for å beregne grenseverdier. |
| Kap. 5. Ingtegrasjon. Appendiks IV. |
| 5.1-5.2 Her diskuteres arealbegrepet og beregning av arealer gjennom grenseovergang. Man bør gjennomføre noen slik beregning for å sette pris på effektiviteten i den metoden vi senere beregner integraler med. |
| 5.3 Bestemte integraler innføres gjennom over- og undersummer. Ideen er at når inndelingen blir finere skal, for integrerbare (def. 3) funksjoner, disse over- og undersummer begge ha samme grenseverdi, integralet av funksjonen. Sats 2, s. 316, viser at denne metoden fungerer for kontinuerlige funksjoner. |
| Appendix IV I avsnitt 5.3 ble det bestemte integralet bare definert for kontinuerlige funksjoner. Med den teknikken som anvendes i Apendix IV utvides begrepene integrerbar/ikke-integrerbar til vilkårlige begrensete funksjoner. |
| 5.4 Her utledes diverse egenskaper til det bestemte integralet (Sats 3, s. 317-318). Integralregningens middelverdisats (Sats 4, s. 320) kommer inn i den nødvendige Integralregningens fundamentalsats i neste avsnitt. |
| 5.5 Sats 5, Integralregningens fundamentalsats, er det som gjør at integralet er et anvendbart verktøy, gjennom koplingen til differensialregningen. Satsen viser att hver kontinuerlig funksjon har en primitiv funksjon. |
| 5.6 Variabelsubstitusjon i integraler, Sats 6, s. 322,
innebærer at man anvender kjederegelen baklengs. Det er en
viktig medode. I samband med integrasjon av trigonometriske funksjoner bør man kjenne til formlene for den dobble vinkelen (se nedre halvdelen av s. 335). |
| 5.7 Beregning av arealet mellom to kurver. Man må først bestemme kurvenes skjæringspunkter og deretter kontrollere hvilken av funksjonene som er størst i resp. delintervall. Deretter beregnes integralet på vanlig måte. |
| Kap. 6. Beregning av integraler. |
| 6.1 Formelen for partiell integrasjon (ruten på s. 345) er viktig. Den følger av produktregelen for deriverte. Les eksemplene 1, 2, 4, 5, 6. |
| 6.2 Les eksemplene 1-8 |
| 6.3 Det grunnleggende eksempelet i dette avsnittet er når nevneren har skilte og enkle nullpunkter, som i ruten på s. 362. Dette behandles i Eks. 3-4. Om noen faktor i nevneren savner relle nullpunkter må man gjøre et annet forsøk, som i Eks. 5-6. I Eks. 7-8 vises hva som hender om noen av faktorene forekommer flere ganger. Tenk på at teknikken som beskrives bare fungerer når telleren er av lavere grad enn nevneren. |
| 6.5 I dette avsnittet behandles generaliserte integraler. Det er to ulike saker man må tenke på. Dels kan integrasjonsintervallet være uendelig, dels kan integranden være ubegrenset i nærheten av noe punkt. Man må da beregne integralet som en grenseverdi. Satsene 2-3 er viktige når man vil undersøke konvergens av integralet. Disse satsene behøves senere i samband med konvergens av serier. |
| Kap. 7. Anvendelser av integralet. |
| 7.1 Fig. 7.2-7.4 gir en forestilling om hvorfor, rent
alment, volumet er integralet av arealet (formelen på øvre
halvdelen av s. 408). Formelen lengst ned på s. 408 behandler
rotasjon omkring x-aksen. Sylindriske skall, s. 411, bygger på
en annen ide. Fig. 7.9 viser hvorfor formelen på s. 412
gjelder. En sammenfatning av ulike tilfeller av rotasjonsvolumer finnes på s. 414. Det nok bedre at man lærer seg hvordan disse formlene utledes, i stedet for å lære dem utenat. |
| 7.2 Her behanles andre volumberegninger, der metoden å dele opp kroppen i tynne skiver, hvis areal man kan bestemme, deretter summerer man disse, dvs. integrerer arealet. |
| 7.3 Bue- eller kuvelengde: formlene midt på
s. 422. Figur 7.22 forklarer mekanismen. Arealet av rotasjonflater: se sammenstilling på s. 426. Igjen anbefales at man lærer seg utledningen av disse formlene. |
| Kap. 9. Tallfølger, serier og potensserier. |
| 9.1 Def. 1-2 regnelover (den store ruten på s. 522). Viktige satser: Sats 1-2. Visse deler av dette avsnittet behandles i Appendiks III, s. A-25. |
| 9.2 Konvergens av in (uendelig) serie betyr at følgen av dens partialsummer konvererer (def. 3). Den geometriske serien (def. 4) og resultatene om den (s. 529) må man kunne. Eks. 4 skal man kjenne til: den harmoniske serien er divergent. Sats 4, s. 532, gir en test for divergens: om ikke den almenne termen går mot null så er serien divergent. Observer at den omvendte til denne satsen er feil: den harmoniske serien er divergent, men den almenne term går mot null. |
| 9.3 Positive serier. Dette er det sentrale avsnittet i kapittelet. Det er viktig å forstå at for positive serier finnes bare to muligheter: seriens sum er endelig (dvs. serien er konvergent) eller uendelig (dvs. serien er divergen). Integraltesten, Sats 8, s. 535, er viktig. Fig. 9.4 viser hvorfor den fungerer. Dens konsekvens i Eks. 1, om p-serier må man kunne. I Eks. 2 gies en annen anvendelse av integraltesten. Sats 9, s. 538, og Sats 10, s. 539, gir de viktigste metodene for å undersøke konvergensen. Disse må kunnes. Eks. 4-6 illustrerer disse satsene. Resten av avsnittet kan hoppes over. |
| 9.4 Abolutt konvergens, Def. 5, Sats 13, s. 544 er viktig. Betinget (conditional) konvergens, Def. 6, Eks. 1, s. 547. Resten av avsnittet inngår ikke. |
| 9.5 (t.o.m. s. 555, samt Sats 19). I samband med Taylors
formel så vi eksempler på potensserier. Her dukker den
gamle geometriske serien opp igjen. Sats 17, s. 554, skal man kjenne
til. Der inngår det viktige begrepet konvergensradie. Den kan
beregnes med formelen i ruten på s. 555. Man skal kunne bruke Sats 19, s. 563: Innenfor konvergensintervallet får man derivere eller integrere en potensrekke termvis. Les Eks. 5-7, s. 561-563. |