SF1692, numeriskt projekt

All numerisk kod skall skrivas i python.

Låt \(N\) vara de två sista siffrorna i ditt personnummer.

Betrakta BVP \[ y' = \sqrt{ |y| }, \quad y(0) = 0 \]

• Värm upp med att lösa det analytiskt.
• Lös problemet numeriskt. Kommentarer?
• Hur länge kan du numeriskt få en lösning att "fastna" på \(y=0\) givet att \(y(-1) = -1\)? (Dvs, låt \(y(-1) = -1 + \epsilon\) med \(\epsilon\) "pyttelitet", och vi säger att \(y\) "fastnar" så länge som \(|y| <= 10^{-6}\).)

Betrakta BVP \[ y' = y^2, \quad y(0) = N/100 \]

• Lös problemet analytiskt. När smäller det?
• Prova att lösa problemet numeriskt. Kan du "numeriskt visa" att det smäller? Kan du uppskatta tiden till singuläriteten?
• Övertyga dig om (visa!?) att om \(y(0) < 0\) så måste \(y(t)<0\) för alla \(t>0\). (Ledtråd: Picard.)
• Kan du hitta numeriska exempel då \(y(0) = \epsilon < 0\), men \(y(t)>0\) för något \(t>0\)? (Ev. måste du ändra ekvationen lite och ta \(y' = C y^2\) för "stort" \(C>0\).) Om du skulle skriva en "automatlösare", hur skall denna kunna undvika/detektera djupt felaktiga lösningar av denna typ?

Betrakta BVP \[ y' = y, \quad y(0) = N \]

Lös problemet numeriskt och finn \(y(2^k)\) med två korrekta decimaler, för \(k = 1, 2, 3, \ldots\) (tortera din dator tills den ger upp!)

Jämför det teoretiska felet med felen din räkning ger.

Läs början av kapitel 4.24. Betrakta BVP \[ y'' + y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \]

• Lös analytiskt.
• Definiera \(\pi/2\) som första värdet på \(t>0\) så att \(y(t) = 0\). Skatta \(\pi\) genom att lösa BVP numeriskt (och skatta första nollstället). Uppvärmning: hur många korrekta siffror kan du få innan din dator smälter? (Prova Euler samt bättre saker.) Efter uppvärmning: finn 20 korrekta decimaler. Ledtråd: du kan be om ledtråd.
• Om vi istället väljer att skatta \(\pi\) genom att hitta roten som ligger närmast \(10^3\), hur mycket svårare blir problemet? Jämför det teoretiska felet med felen din räkning ger.

Läs kapitel 3.21. Sätt solen i origo (antag att solen inte rör sig.) Tag en planet \(P\) som rör sig i \((x,y)\) -planet, och låt \((x(t),y(t))\) vara planetens position vid tid \(t\).

• Härled ett andra ordningens system av diffekvationer som beskriver planetens rörelse (byt inte till polära koordinater.) Du kan välja massor så att ekvationerna blir så enkla som möjligt. Om du behöver mer ledtrådar, googla "three body problem".

• Simulera systemet en kort tid genom att lösa numeriskt för lite olika val av initialvärden. (Plotta!)

• Simulera systemet en lång tid genom att lösa numeriskt för lite olika val av initialvärden. Kan du upptäcka något konstigt? (Du kan be om ledtråd.)

  Ledtråd: i vårt universum samt i den här kursen bevaras energin.

• Kan du hitta sätt att återställa ordningen i vår simulering? Du kan be om ledtråd.

  Ledtråd: sök på semi-implicit Euler (eller symplectic Euler.)

Tag planetsystem med sol, Jupiter (dvs tung planet) samt jorden (punktformad). Givet ett rymdskepp nära jorden med "delta-v" som är så litet att skeppet ej kan lämna solsystemet (ledtråd: "escape velocity") designa en bana nära Jupiter som funkar som en "gravitational slingshot" så att skeppet kan lämna solsystemet.

• Utforska numeriskt och hitta massor, planetbanor etc så att ovanstående funkar. Ledtrådar: använda astronomiska enheter (jorden ligger då ca 1 AU från solen.) Om problem att pricka Jupiter: använd program för att söka fram initivalvillkor. Du kan be om ledtrådar.
• Hur vet du säkert att skeppet verkligen lämnar solsystemet?