OBS: innehåller inte allt! (Nedanstående kan komma att uppdateras.)

• Klassification: ordning, linjär, separabel, autonom, homogen, exakt.

• Lösningar till D.E. (allmän/generell lösning, val av konstanter) <-> integralkurvor <-> familj av kurvor. Ibland: "extra" lösningar. Implicit lösning

• Geometrisk tolkning: riktningsfält, ortogonala banor.

• Enkla modeller: linjär (tillväxt, värme, etc), salttankar, enkel fysik (fallande object med och utan luftmotstånd)

• Lösningmetoder: integrerande faktor (särskilt för linjär ekv men även för att göra om till exakta ekvationer), substitution (särskilt homogena D.E. samt Bernoulli).

• Linjära ekvationer (ordning \(n\)): "global" Picard på "stort" intervall \(I\), homogena system ger vektorrum av lösningar; den allmänna lösningen har \(n\) parametrar. Inhomogent: \(y = y_p + y_h\). (Kan lägga ihop lösningar om HL adderas.) Fundamental lösningsmängd: \(n\) st oberoende lösningar. Test av oberoende: Wronskianen \(W\) nollskiljd. Sats: \(W(x)=0\) i en punkt omm $W(x) =0 $ för alla \(x \in I\). Andra (och högre) ordningens D.E. med konstanta koefficenter ger explicita lösningar (distinkta reella rötter, complexkonjugerade, dubbelrot). Reduktion av ordning, obestämda koefficienter, variation av parametrar, operatormetoden (för att hitta \(y_p\).) Allmän lösning <-> fundamental lösningsmängd <-> fundamentalmatris.

• Laplacetransformer: definition (styckvist kontinuerlig, exponentiell ordning), linjäritet (även för inverstransformen), tabellslagning, partialbråksuppdelning. Diffekvationer (linjära, konst. koeff): "gör om" derivering till mult. med \(s\) (samt \(-y(0)\)). Diverse egenskaper: \(F'(s)\), \(f(t)*g(t)\) <-> \(F(s) G(s)\), integralekvationer via faltning, Dirac samt stegfunktionen (faltning med "impulssvar"), \(F(s-a)\) och \(u_c(t) \cdot f(t-c)\) (translation på \(s\) och \(t\) -sidorna.)

• System av första ordningens DE: "gör om" högre ordningens D.E. till dessa, Picard. Linjära system: "bättre Picard", lägg ihop lösningar, test av oberoende via Wronskianen, etc, etc (som andra ordningens system!). Om konstanta koeff: finn explicita lösningar via egenvärden/egenvektorer (tag Re/Im via komplexa rötter, dubbelrot knepigare).

• Ickelinjära system: fasplanmetoden (se kap 57), koordinatbyten (särskilt polära). Kritiska/stationära punkter och jämvikts/ekvilibrium-lösningar, fasporträtt.

• Stabilitet: noder, sadelpunkter, centrum, spiraler; (instabila/stabila/asymptotiskt stabila.) För linjära autonoma system: titta på rötter till kar. polynom. Lyapunovmetoden. Linjärisering nära kritisk punkt - lösningar "samma typ" som linjärisering OM vi undviker centrum.

• Existens och entydighet (Picard): lokal sats, "global" för linjära ekvationer. Ide: skriv om som integralekvation, gör sedan "Picarditerationer". Picard för system av ordning ett, gör om högre ordningens ekvationer till system.
• Numeriska metoder: Euler framåt/bakåt, explicit/implicita metoder och deras för och nackdelar ("styva" problem), bättre metoder: trapets samt Runge-Kutta av ordning 4. Noggrannhet: lokalt/globalt fel, kondition (se Sats 6.3 i Sauer.)

• Formuleringar: 2A, 14A, 54A,B, 55A, 62A, 70A, 70B, 71A.

• Bevis: 14B, 14C, 15A, 52 ("convolution theorem"), 55B, 55C, 55D, 55E, 55F, 60A, 60B (eller motsvarande formulerat mha egenvärdena), 62B.

• Beviside: 61A, 70A, 70B.