Andraderivata av en funktion av en funktion — kedjeregeln.

Antag att z är en funktion av u och v, medan u och v i sin tur är funktioner av x och y. Hur beräkna andraderivator såsom z_{xy} och z_{xx} ?

Här kan man rita ett beroendeschema (beroendediagram) med z på översta raden, u och v på mellersta raden samt x och y på nedersta raden. (Man kan också göra de flesta parenteser nedan större.)

Vi skriver konsekvent z_{u} = \frac{∂z}{∂u} , z_{v} = \frac{∂z}{∂v} , z_{xx} = \frac{∂^{2}z}{∂x^{2}} osv.

Observera att t ex (z_{u})_{v} = \frac{∂}{∂v} (z_{u}) = \frac{∂}{∂v} \frac{∂z}{∂u} = \frac{∂^{2}z}{∂v∂u} = z_{uv}.

Steg 1.

Kedjeregeln ger \frac{∂z}{∂x} = \frac{∂z}{∂u} \frac{∂u}{∂x} + \frac{∂z}{∂v} \frac{∂v}{∂x} eller z_{x} = z_{u} u_{x} + z_{v} v_{x}.

Steg 2.

Nu skall vi taga \frac{∂}{∂y} av detta. Då måste vi behandla z_{u} och z_{v} som funktioner av x och y via u och v så att (precis som för z själv!)

\frac{∂}{∂y} (z_{u}) = \frac{∂}{∂u}(z_{u})\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂}{∂v} (z_{u})\frac{∂v}{∂y} = z_{uu} u_{y} + z_{uv} v_{y}

och på samma sätt få

\frac{∂}{∂y} (z_{v}) = ... = z_{vu} u_{y} + z_{vv} v_{y}.

Vidare ger Leibniz att

\frac{∂}{∂y} (z_{u} u_{x}) = \frac{∂}{∂y} (z_{u}) u_{x} + z_{u} \frac{∂}{∂y} (u_{x}) = \frac{∂}{∂y} (z_{u}) u_{x} + z_{u} \frac{∂^{2}u}{∂x∂y} = \frac{∂}{∂y} (z_{u}) u_{x} + z_{u} u_{yx} .

När allt detta sätts samman får vi

z_{xy} = (z_{x})_{y} = \frac{∂}{∂y} (\frac{∂z}{∂x}) = \frac{∂}{∂y} (z_{x}) = \frac{∂}{∂y} (z_{u} u_{x} + z_{v} v_{x}) =

= \frac{∂}{∂y} (z_{u}) u_{x} + z_{u} \frac{∂}{∂y} (u_{x}) + \frac{∂}{∂y} (z_{v}) v_{x} + z_{v} \frac{∂}{∂y} (v_{x}) =

= (z_{uu} u_{y} + z_{uv} v_{y}) u_{x} + z_{u} u_{xy} + (z_{vu} u_{y} + z_{vv} v_{y}) v_{x} + z_{v} v_{xy} = ... .

Detta är det allmänna formeln för z_{xy} . För z_{xx} förfar man på samma sätt men byter ut alla y ’n ovan mot x .