Fischer-kärnor och Cauchy-problem för vågekvationen

Låt P (w) och Q(z) vara två polynom i n komplexa variabler. Vi söker en uppdelning av exponentialkärnan e^{w·z} = exp ( w_{1}z_{1} + ⋯ w_{n}z_{n}) som en summa e^{w·z} = h(w, z) + g(w, z) , där P (D_{z}) h = 0 och Q(z) delar g. Om det entydigt existerar hela funktioner h(w, z) och g(w, z) , av exponentiell typ med avseende på z , som uppfyller detta, så kallar vi dem Fischer-kärnor. I så fall får vi också en uppdelning m a p det duala paret Q(D_{w}) och P (w) , dvs även P (w) delar g , samtidigt som Q(D_{w}) h = 0 . Vidare finns en moderfunktion G som uppfyller g(w, z) = P (w) Q(z) G(w, z) , e^{w·z} = P (D_{z}) Q(z) G(w, z) , e^{w·z} = Q(D_{w}) P (w) G(w, z) . Om vi först byter ut w mot −iw och sedan (för de z för vilket detta är möjligt) tager (invers) Fouriertransform m a p w ∈ R^{n} som tempererade distributioner, så får vi uppdelningen δ_{z}(s) = δ(s−z) = η(s, z)+P (−D_{s}) Q(z) G(s, z) , där P (D_{z}) η(s, z) = 0 och Q(s) η(s, z) = Q(s) η_{z}(s) = 0 ( η kommer från h, och G kommer från G). Observera att distributionen η_{z} lever där Q(s) = 0 , s ∈ R^{n}. Om vi nu parar δ -ekvationen m a p s med en (tillräckligt snäll) funktion φ(s) , så får vi, genom att vända på resonemanget, för givna funktioner ψ och f lösningen φ till det inhomogena Cauchy–Goursat–problemet i R^{n} ,

\{ \begin{matrix}P (D) φ = ψ , \\ φ = f & då Q = 0 , egentligen: Q(z) delar ( φ(z) − f(z) ) , \end{matrix}

medelst formlerna (parning m a p variabeln s) φ = φ_{hom} + φ_{part} , där φ_{hom}(z) = ⟨ η_{z} | f ⟩ och φ_{part}(z) = Q(z) ⟨ G_{z} | ψ ⟩ . Det syns att Gr(s, z) = Q(z) G_{z}(s) = Q(z) G(s, z) är Greens funktion. Exempel 1. w′ = (w_{1}, …, w_{n−1}) , ω^{2} = w_{1}^{2}+⋯+w_{n−1}^{2} , P (w) = ω^{2}−w_{n}^{2} , P (D_{z}) = vågoperatorn , Q(z) = z_{n}^{2} . Här blir

h(w, z) = e^{w′·z′} ( cos(iz_{n}ω) + w_{n}z_{n} \frac{sin(iz_{n}ω)}{iz_{n}ω} ) ,

vilket efter Fouriertransformering ger lösningen till vågekvationen med dubbla data på initialmängden Q = z_{n}^{2} = 0 , där z_{n} är tiden. Då n = 4 ( tre rumsdimensioner) får vi Kirchhoffs formel. Exempel 2. P som ovan, och Q = P . Då är Q = 0 på ljuskonen (z′)^{2} − z_{n}^{2} = 0 , och vi får en lösning till det karakteristiska Cauchy-problemet för vågekvationen med data på denna kon.

Litteraturhänvisning. Jockum Aniansson, Some integral representations in real and complex analysis. Peano–Sard kernels and Fischer kernels. Doktorsavhandling, Kungliga Tekniska Högskolan, Stockholm (1999).

www.math.kth.se/ jockum