Föredrag om circa 45 minuter var,
som Jockum Aniansson hållit inom ramen för
LS = LUNCHSEMINARIET på Matematiska inst., KTH.
*
* *
*
*
*
***************************************************
*
  *
  *
*
*
*
ALLMÄNT:
Vi ( Lasse Svensson och Jockum Aniansson ) startade år 2012
ett litet lunchseminarium ungefär varannan torsdag
mellan klockan tjugo minuter över tolv och circa
fem över ett.
Meningen är att åhörarna skall kunna taga med
sig sin lunchlåda och lyssna medan de äter, om
de så vill.
Innehållet skulle vara mycket informellt och
opretentiöst. Vi är många som efter år av
forskning och undervisning tycker oss äga
(understundom dyrköpta) insikter om hur
någonting "egentligen" borde läras ut eller
hur det "i själva verket" ligger till,
vad som är den springande punkten i ett bevis
eller hur en känd sats äger långtgående generaliseringar.
Vi har också båda undervisat om
matematikens ofantligt intressanta historia
och anser att det finns otaliga godbitar i historien
som vi gärna vill dela med oss av.
***************************************************
Jockum har talat om:
DEN STORE GEOMETERN.
APOLLONIOS från Perge var den tredje av Antikens stora
grekiskspråkiga matematiker vid sidan av Eukleides och
Arkhimedes.
Han härledde parabelns, ellipsens och hyperbelns symptom
på ett än idag oöverträffat sätt, som
stått sig i två tusen år. ---
Detta vill jag berätta om!
Det var bl a dessa symptom som ledde Descartes och Fermat till
att införa koordinater, utan vilka Newton och Leibniz nog inte
skulle kunna ha upptäckt kalkylen.
PS. Ellipsens symptom är föregångaren till en av ellipsens
*tre* kanoniska ekvationer.
**********************************
Titel: Den s k Cardanos formel för allmänna lösningen till
tredjegradsekvationen
-- hur fungerar den *geometriskt* ?
Referat: Hur kan man lätt förstå och minnas att:
man kan räkna ut den enda reella roten *utan*
komplexa tal i det fall då två av ekvationens tre
rötter verkligen blir komplexa (icke-reella),
medan man i fallet då ekvationen *har* tre reella
rötter inte klarar sig utan komplexa tal?
Om tiden medger kommer jag att förtälja något om
formelns upptäcktshistoria, och om hur Bombelli
sedan "etablerade" de första räknereglerna för
komplexa tal.
Vem införde namnet imaginära tal?
Vem införde benämningen "komplexa tal"?
Vem införde symbolen i för roten ut minus ett?
**********************************
Om hur Cardanos assistent
Lodovico Ferrari löste fjärdegradsekvationen.
AUTOREFERAT: Ferraris method går faktiskt ut på
att faktorisera ett fjärdegradspolynom som en produkt av
tvenne andragradspolynom. Detta kan göras på trenne
olika sätt. Då detta skall genomföras måste man
lösa en "hjälpekvation" ( "auxiliär ekvation" ) av
grad tre, vilket förstås utföres medelst den s. k.
"Cardanos formel".
**********************************
* Euler och pi-kvadrat genom 6 ( \pi^2 / 6 ) * .
Jag tänkte förtälja hur Leonhard Euler
i sin ungdom löste det då ryktbara s k
Baselproblemet att exakt beräkna summan av inverserna av alla
positiva heltalskvadrater =
Summa av 1/n^2 fra n=1 till oändligheten, eller [uti \TeX]
\Sigma_{n=1}^\infty\,{ 1\over n^2 } ,
och hur han sedan exakt kunde beräkna liknande summor med
allmän term 1/( n^{ 2 k } ) , där k = positivt heltal.
Det handlade om hur Euler faktiskt mycket enkelt löste det s k
Baselproblemet om att finna en sluten form för zeta av 2 alias
summan av alla inversa positiva heltalskvadrater. Allt som
behövdes var Eulers geniala faktorisering av sinus(x), sett
som ett polynom av oändlig grad. -- Kommer man lika enkelt åt
zeta av 2k , där n är ett positivt heltal? Här är
zeta Eulers zeta-funktion av reellt argument, som senare utvidgades
till hela det komplexa talplanet av Riemann.
**********************************
Om Euler-Maclaurins summationsformel,
Bernoullipolynom, Bernoullital och Eulers zetafunktion.
(Detta var en fri och oberoende fortsättning
från föregående seminarium.
**********************************
Över (den reella)
LOGARITHMENS HISTORIA och hur "Nepers tal"
via Jakob Bernoulli blev "Eulers tal e".
**********************************
Fortsättning om hur Leonhard Euler
upptäckte den FLERVÄRDA komplexa logarithmen.
Jag hade roligt när jag i Ryska VetenskapsAkademien
satt och läste Eulers handskrivna manus (mest på
franska och latin) bl a om hur han argumenterar för
logaritmen för MINUS ett.
**********************************
Om många olika representationer av Diracs deltafunktion.
Den teoretiske fysikern Paul Adrien Maurice Dirac
(född i Bristol 1902 med en fransk fader och en brittisk moder)
införde sin deltafunktion innan matematikerna hann göra det.
Den generaliserar Kroneckers delta.
Diracs delta kan som punktmått lätt generaliseras
till många dimensioner.
---
Den kan representeras som eller medelst
¶ > en Fouriertransform,
¶ > en oscillerande integral,
¶ > P(D) E , om E är en s k fundamentallösning,
¶ > analytiska funktioner,
¶ > medelvärden över sfärer, mm.
En del hanns i det första seminariet om detta ämne.
En fri fortsättning planeras.
**********************************
Om hur Arkhimedes beräknade arean av en sfärisk kalott.
Autoreferat: Arkhimedes roterade en regelbunden 4k-siding
(en regelbunden månghörning i planet med antalet hörn
delbart med 4; i figuren en tolvsiding) till en tredimensionell figur
som mest liknar en rislampa. Han beräknade *exakt* dess area
och svaret uttrycks mycket vackert i geometriska termer.
Härav fås lätt arean för en sfärisk
kalott med dess vackra geometriska tolkningar (flera olika!).
Han lär ha värderat detta resultat så högt att
han på sin gravsten ville ha (och fick) en figur
föreställande en sfär inskriven i en rät
cirkulär cylinder.
Lamberts ytriktiga kartprojektion utgår från
Arkhimedes' kalottarea
(Johann Heinrich Lambert, 1728 -1777).
**********************************
Om hur Euler kom på funktionalekvationen
för (sin!) zeta-funktion circa hundra år före
Riemann. Hur genial var icke Euler !!
**********************************
Om matte-ordens grekiska rötter, med exempel såsom
parabel, ellips, hyperbel, asymptot,
diameter, perimeter, periferi, cykel,
hypotnusa, katet, trigonometri.
**********************************
*
*
*
Annat:
Jockum talade litet om talet pi:s historia
under "Pi-dagen" den 14 mars 2014 klo 14, se Pi-dagens
program och
talare.
I samband med detta blev han oxo inbjuden medverka i Sveriges Radios
program
Morgonpasset (det startar circa 31 minuter efter programmets
början) i kanal P3 lördagen
den 15 mars (idus martiæ, dagen då Caivs Ivlivs Caesar
blev tagen av daga), fast år
2014 klo 9 - 10, för att berätta
något om Matematikens spännande historia.
***************************************************
Föredrag över närliggande ämnen:
Talare torsdag 7 februari 2013 var HENRIK Shahgholian om
Christer Fuglesang i ett elliptiskt äggskal - ( eller ) -
potentialfältet (Newtonpotentialen)
från en homogen ellipsoid, vilket även Newton
räknade på.
Autoreferat:
Om vi satte Fuglesang inuti ett gigantiskt elliptisk äggskal
(en elliptisk homoeoid) skulle han sväva fritt utan någon
gravitationsverkan från skalet! Detta påstående i form av
"No Gravity in the Cavity" visades av Sir Isaac Newton i
hans Principia, Book III.
I detta lunchseminarium ska jag prata om elliptisk potentialteori
och visa två enkla kalkyler, den ena Newtons och den andra
Dirichlets om hur man beräknar gravitationsfältet
för en elliptisk homoeoid inuti skalet.
Torsdagen den 27 november 2014 talade BENGT Ek om
Ptolemaios vackra sats (eller Ptolemaios' sats)
och några följder av den.
Sammanfattning:
Ptolemaios sats, om längder av sidor och diagonaler i en
fyrhörning som är inskriven i en cirkel, hör till
den antika grekiska geometrin, men åtminstone jag fick inte
se den i skolan (eller i kurserna här på Teknis).
Jag tänkte tala om några följder av den i
två och tre dimensioner och om en generalisering från
1800-talet.
Torsdag 24 september 2015 talade Anders Martin-Löf om
Construction of the Wiener process, the most basic Gaussian
stochastic process with continuous trajectories.
Inspired by the Brownian motion, Wiener in 1923 constructed a stochastic process,
which has turned out to be a basic building block in the theory of stochastic
processes. I will explain an elegant simple construction of this process
due to Lévy, which shows that it is Gaussian and continuous.
Anders Martin-Löf talade den 24 september om hur man kan definiera
Brownsk rörelse enligt Paul Lévy medelst
triangulära Haarfunktioner (tältfunktioner) för att sedan visa
att nästan alla vägar är kontinuerliga.
Torsdagen den 29 oktober 2015 talade
Jan Boman Om plana snitt av rotationsellipsoider.
Sammanfattning:
Låt $S$ vara den yta som genereras då en ellips roterar
kring sin storaxel, och låt $L$ vara ett godtyckligt plan.
Snittet $C$ mellan $L$ och $S$, som förstås är en ellips,
ser ut som en cirkel om den ses från någon av
rotationsellipsoidens brännpunkter. Annorlunda uttryckt, den kon som
genereras av alla linjer som innehåller en (fix) brännpunkt och
skär $C$ är en cirkulär kon.
Jag kommer att redogöra för hur Nils Abramson, KTH, fann
denna sats empiriskt genom optiska experiment och ge ett bevis för
satsen. Satsen kan även bevisas med fysikaliska argument som är
relaterade till en egenskap hos Lorentztransformationen.
Resultatet har publicerats i Amer. Math. Monthly 2005 som ett
samarbete mellan Nils Abramson, Björn Bonnevier (KTH) och mig själv.
Tillagt efteråt:
Vid seminariet berättade också Nils Abramson, professor
emeritus i metrologi = mätteknik, om sambandet mellan
Michelson--Morleys experiment om den ev. etern (aether) och hans eget
experiment (som ledde till denna sats).
Jockums anm: Ytan S kan kallas en prolat sfäroid (avlång eller
långsmal). Den kon som bildas blir i regel en sned elliptisk kon.
Satsen säger att den samtidigt blir en *rät* cirkulär
kon. Denna sats skulle nog *inte* Arkhimedes eller Apollonios
kunna ha kommit på.
Prospektiva ämnen:
Ett föredrag om Hintjins (Khinchin) sats om
den itererade logarithmen.
En ljusstråles avböjning då den passerar nära solen, i
Newtons teori och i Einsteins teori.
*
  *
  *
Foer att skanderna
å=aa=å, ä=ae=ä och ö=oe=ö skall bli FINFINA
överallt paa skaermen
rekommenderas i naetlaesaren stegen
View / Visa
character encoding
unicode (UTF-8)
***************************************************
Kontrollrad: aa = å = å , ae = ä = ä , oe = ö = ö
***************************************************
Denna fil blev senast ändrad den 20Octobris Anno 2016 ELLER SENARE.