Föredrag om circa 45 minuter var,
som Jockum Aniansson hållit inom ramen för
LS = LUNCHSEMINARIET på Matematiska inst., KTH.
                                                               *    *    *

                                                               *    *    *


***************************************************
                                                               *    *    *



                                                               *    *    *

ALLMÄNT:
Vi ( Lasse Svensson och Jockum Aniansson ) startade år 2012 ett litet lunchseminarium ungefär varannan torsdag mellan klockan tjugo minuter över tolv och circa fem över ett.
Meningen är att åhörarna skall kunna taga med sig sin lunchlåda och lyssna medan de äter, om de så vill.

Innehållet skulle vara mycket informellt och opretentiöst. Vi är många som efter år av forskning och undervisning tycker oss äga (understundom dyrköpta) insikter om hur någonting "egentligen" borde läras ut eller hur det "i själva verket" ligger till, vad som är den springande punkten i ett bevis eller hur en känd sats äger långtgående generaliseringar.

Vi har också båda undervisat om matematikens ofantligt intressanta historia och anser att det finns otaliga godbitar i historien som vi gärna vill dela med oss av.

***************************************************

Jockum har talat om:

DEN STORE GEOMETERN. APOLLONIOS från Perge var den tredje av Antikens stora grekiskspråkiga matematiker vid sidan av Eukleides och Arkhimedes.
Han härledde parabelns, ellipsens och hyperbelns symptom på ett än idag oöverträffat sätt, som stått sig i två tusen år. --- Detta vill jag berätta om!
Det var bl a dessa symptom som ledde Descartes och Fermat till att införa koordinater, utan vilka Newton och Leibniz nog inte skulle kunna ha upptäckt kalkylen.
PS. Ellipsens symptom är föregångaren till en av ellipsens *tre* kanoniska ekvationer.

**********************************

Titel: Den s k Cardanos formel för allmänna lösningen till tredjegradsekvationen
-- hur fungerar den *geometriskt* ?
Referat: Hur kan man lätt förstå och minnas att: man kan räkna ut den enda reella roten *utan* komplexa tal i det fall då två av ekvationens tre rötter verkligen blir komplexa (icke-reella), medan man i fallet då ekvationen *har* tre reella rötter inte klarar sig utan komplexa tal?
Om tiden medger kommer jag att förtälja något om formelns upptäcktshistoria, och om hur Bombelli sedan "etablerade" de första räknereglerna för komplexa tal.
Vem införde namnet imaginära tal?
Vem införde benämningen "komplexa tal"?
Vem införde symbolen i för roten ut minus ett?

**********************************

Om hur Cardanos assistent Lodovico Ferrari löste fjärdegradsekvationen.
AUTOREFERAT:   Ferraris method går faktiskt ut på att faktorisera ett fjärdegradspolynom som en produkt av tvenne andragradspolynom. Detta kan göras på trenne olika sätt. Då detta skall genomföras måste man lösa en "hjälpekvation" ( "auxiliär ekvation" ) av grad tre, vilket förstås utföres medelst den s. k. "Cardanos formel".

**********************************

* Euler och pi-kvadrat genom 6   ( \pi^2 / 6 ) * .
Jag tänkte förtälja hur Leonhard Euler i sin ungdom löste det då ryktbara s k Baselproblemet att exakt beräkna summan av inverserna av alla positiva heltalskvadrater =
Summa av 1/n^2 fra n=1 till oändligheten, eller [uti \TeX]   \Sigma_{n=1}^\infty\,{ 1\over n^2 }   ,
och hur han sedan exakt kunde beräkna liknande summor med allmän term 1/( n^{ 2 k } ) , där   k = positivt heltal.
Det handlade om hur Euler faktiskt mycket enkelt löste det s k Baselproblemet om att finna en sluten form för zeta av 2 alias summan av alla inversa positiva heltalskvadrater. Allt som behövdes var Eulers geniala faktorisering av sinus(x), sett som ett polynom av oändlig grad. -- Kommer man lika enkelt åt zeta av 2k , där n är ett positivt heltal? Här är zeta Eulers zeta-funktion av reellt argument, som senare utvidgades till hela det komplexa talplanet av Riemann.

**********************************

Om Euler-Maclaurins summationsformel, Bernoullipolynom, Bernoullital och Eulers zetafunktion.
(Detta var en fri och oberoende fortsättning från föregående seminarium.

**********************************

Över (den reella) LOGARITHMENS HISTORIA och hur "Nepers tal" via Jakob Bernoulli blev "Eulers tal e".

**********************************

Fortsättning om hur Leonhard Euler upptäckte den FLERVÄRDA komplexa logarithmen. Jag hade roligt när jag i Ryska VetenskapsAkademien satt och läste Eulers handskrivna manus (mest på franska och latin) bl a om hur han argumenterar för logaritmen för MINUS ett.

**********************************

Om många olika representationer av Diracs deltafunktion.
Den teoretiske fysikern Paul Adrien Maurice Dirac (född i Bristol 1902 med en fransk fader och en brittisk moder) införde sin deltafunktion innan matematikerna hann göra det. Den generaliserar Kroneckers delta. Diracs delta kan som punktmått lätt generaliseras till många dimensioner.
---   Den kan representeras som eller medelst
¶ >   en Fouriertransform,
¶ >   en oscillerande integral,
¶ >   P(D) E , om E är en s k fundamentallösning,
¶ >   analytiska funktioner,
¶ >   medelvärden över sfärer, mm.
En del hanns i det första seminariet om detta ämne. En fri fortsättning planeras.

**********************************

Om hur Arkhimedes beräknade arean av en sfärisk kalott.
  Autoreferat: Arkhimedes roterade en regelbunden 4k-siding (en regelbunden månghörning i planet med antalet hörn delbart med 4; i figuren en tolvsiding) till en tredimensionell figur som mest liknar en rislampa. Han beräknade *exakt* dess area och svaret uttrycks mycket vackert i geometriska termer. Härav fås lätt arean för en sfärisk kalott med dess vackra geometriska tolkningar (flera olika!).
Han lär ha värderat detta resultat så högt att han på sin gravsten ville ha (och fick) en figur föreställande en sfär inskriven i en rät cirkulär cylinder.
  Lamberts ytriktiga kartprojektion utgår från Arkhimedes' kalottarea
(Johann Heinrich Lambert, 1728 -1777).

**********************************

Om hur Euler kom på funktionalekvationen för (sin!) zeta-funktion circa hundra år före Riemann. Hur genial var icke Euler !!

**********************************

Om matte-ordens grekiska rötter, med exempel såsom
parabel, ellips, hyperbel, asymptot, diameter, perimeter, periferi, cykel, hypotnusa, katet, trigonometri.

**********************************



                                                               *    *    *

Annat: Jockum talade litet om talet pi:s historia under "Pi-dagen" den 14 mars 2014 klo 14, se Pi-dagens program och talare. I samband med detta blev han oxo inbjuden medverka i Sveriges Radios program Morgonpasset (det startar circa 31 minuter efter programmets början) i kanal P3 lördagen den 15 mars (idus martiæ, dagen då Caivs Ivlivs Caesar blev tagen av daga), fast år 2014 klo 9 - 10, för att berätta något om Matematikens spännande historia.

***************************************************

Föredrag över närliggande ämnen:

Talare torsdag 7 februari 2013 var HENRIK Shahgholian om
Christer Fuglesang i ett elliptiskt äggskal - ( eller ) - potentialfältet (Newtonpotentialen) från en homogen ellipsoid, vilket även Newton räknade på.
Autoreferat: Om vi satte Fuglesang inuti ett gigantiskt elliptisk äggskal (en elliptisk homoeoid) skulle han sväva fritt utan någon gravitationsverkan från skalet! Detta påstående i form av "No Gravity in the Cavity" visades av Sir Isaac Newton i hans Principia, Book III.
I detta lunchseminarium ska jag prata om elliptisk potentialteori och visa två enkla kalkyler, den ena Newtons och den andra Dirichlets om hur man beräknar gravitationsfältet för en elliptisk homoeoid inuti skalet.

Torsdagen den 27 november 2014 talade BENGT Ek om   Ptolemaios vackra sats (eller Ptolemaios' sats) och några följder av den.
Sammanfattning: Ptolemaios sats, om längder av sidor och diagonaler i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel, hör till den antika grekiska geometrin, men åtminstone jag fick inte se den i skolan (eller i kurserna här på Teknis).
Jag tänkte tala om några följder av den i två och tre dimensioner och om en generalisering från 1800-talet.

Torsdag 24 september 2015 talade Anders Martin-Löf om
Construction of the Wiener process, the most basic Gaussian stochastic process with continuous trajectories.
Inspired by the Brownian motion, Wiener in 1923 constructed a stochastic process, which has turned out to be a basic building block in the theory of stochastic processes. I will explain an elegant simple construction of this process due to Lévy, which shows that it is Gaussian and continuous.
Anders Martin-Löf talade den 24 september om hur man kan definiera Brownsk rörelse enligt Paul Lévy medelst triangulära Haarfunktioner (tältfunktioner) för att sedan visa att nästan alla vägar är kontinuerliga.

Torsdagen den 29 oktober 2015 talade Jan Boman   Om plana snitt av rotationsellipsoider.

Sammanfattning: Låt $S$ vara den yta som genereras då en ellips roterar kring sin storaxel, och låt $L$ vara ett godtyckligt plan. Snittet $C$ mellan $L$ och $S$, som förstås är en ellips, ser ut som en cirkel om den ses från någon av rotationsellipsoidens brännpunkter. Annorlunda uttryckt, den kon som genereras av alla linjer som innehåller en (fix) brännpunkt och skär $C$ är en cirkulär kon.

Jag kommer att redogöra för hur Nils Abramson, KTH, fann denna sats empiriskt genom optiska experiment och ge ett bevis för satsen. Satsen kan även bevisas med fysikaliska argument som är relaterade till en egenskap hos Lorentztransformationen. Resultatet har publicerats i Amer. Math. Monthly 2005 som ett samarbete mellan Nils Abramson, Björn Bonnevier (KTH) och mig själv.

Tillagt efteråt: Vid seminariet berättade också Nils Abramson, professor emeritus i metrologi = mätteknik, om sambandet mellan Michelson--Morleys experiment om den ev. etern (aether) och hans eget experiment (som ledde till denna sats).

Jockums anm: Ytan S kan kallas en prolat sfäroid (avlång eller långsmal). Den kon som bildas blir i regel en sned elliptisk kon. Satsen säger att den samtidigt blir en *rät* cirkulär kon. Denna sats skulle nog *inte* Arkhimedes eller Apollonios kunna ha kommit på.


Prospektiva ämnen:

Ett föredrag om Hintjins (Khinchin) sats om den itererade logarithmen.

En ljusstråles avböjning då den passerar nära solen, i Newtons teori och i Einsteins teori.




                                                               *    *    *

Foer att skanderna å=aa=å, ä=ae=ä och ö=oe=ö skall bli FINFINA överallt paa skaermen rekommenderas i naetlaesaren stegen
View / Visa
character encoding
unicode (UTF-8)

***************************************************

Kontrollrad: aa = å = å , ae = ä = ä , oe = ö = ö

***************************************************
Denna fil blev senast ändrad den 20Octobris Anno 2016 ELLER SENARE.