Heltalstrianglar med rationell parametrisering.

Jockum Aniansson

En plan triangel T med sidorna a , b , c och vinkelsumma 180^{o} kan säkert parametriseras på många olika sätt. Här tager vi sikte på att använda den omskrivna cirkelns radie R (“omradien”, eng. circumradius) i parametriseringen, eftersom sinussatsen ger

2R = \frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} .

Vi inför de klassiska substitutionerna

sin α = \frac{2t}{1 + t^{2}} , där t = tan \frac{α}{2} , och sin β = \frac{2τ}{1 + τ^{2}} , där τ = tan \frac{β}{2} .

Vi observerar att både t och τ är positiva reella tal. För triangelsidan c = 2R sin γ = 2R sin(α + β) får vi då efter omarbetning uttrycket

c = 4R · \frac{(t + τ) (1 − tτ)}{(1 + t^{2}) (1 + τ^{2})} .

Vi homogeniserar dessa uttryck genom att skriva

t = \frac{v}{u} och τ = \frac{y}{x}

där (vi skulle kunna låta v vara sin(α/2) , och u cos(α/2) , osv, men) vi siktar på fallen då u, v, x och y alla är positiva heltal. Vi inför den gemensamma faktorn

q = \frac{2R}{(u^{2} + v^{2}) (x^{2} + y^{2})}

och kan nu skriva

a = 2R · \frac{2uv}{u^{2} + v^{2}} = q · 2uv · (x^{2} + y^{2}) ,

b = 2R · \frac{2xy}{x^{2} + y^{2}} = q · 2xy · (u^{2} + v^{2}) ,

c = q · 2 (vx + uy) · (ux − vy) .

Eftersom vinkeln γ är positiv, så måste parentesen (ux − vy) vara positiv. Detta motsvarar att 0 < t τ < 1 . Medelst cosinussatsen får vi slutsats nummer (1) nedan. Formeln

t = tan \frac{α}{2} = \frac{1 − cos α}{sin α}

och samma för τ ger oss nu (2) nedan. Uttrycket för q ger oss slutligen (3).

Slutsatser. (1) Om sidorna a , b och c är rationella, blir cos α , cos β och cos γ alla rationella, men inget kan sägas om sin α , sin β eller sin γ, och parametrarna t och τ behöver ej vara rationella.

(2) Om sidorna a , b , c samt omradien R alla fyra är rationella, blir både sin och cos av α , β och γ rationella, och därmed blir automatiskt parametrarna t och τ rationella!

(3) Om a, b, c och R alla fyra är heltal, kan vi parametrisera triangeln med positiva heltal u, v, x och y samt en rationell faktor q .

Nu kan vi räkna ut t ex perimetern (omkretsen) p , semiperimetern s = p/2 , den inskrivna cirkelns radie r (“inradien”, eng. inradius), höjden h mot sidan c , samt arean |T | , alla uttryckta med våra fem parametrar:

p = q · 4 u x (vx + uy) ,

r = q · 2 v y (ux − vy) ,

h = q · 4 u v x y ,

|T | = q^{2} · 4 u v x y (vx + uy) (ux − vy) .

Mer kan sägas, som t ex att

t = R · \frac{a^{2} − (b − c)^{2}}{a b c} och τ = R · \frac{b^{2} − (a − c)^{2}}{a b c} .

Fortsättning kan följa.

20\frac{21}{3}20