Ta Mathematika'
Matematik
Matematikens historia.
Föreläsare Tekn. Dr. Jockum Anianssoneadress: jockum@kth.se
En bit ner (motsvarande ungefär fyra A4-sidor ner) på i denna fil har jag samlat mina pekare till bilder på nätet med sfärisk och hyperbolisk (icke-euklidisk) geometri (Lobatjevskijs geometri).
Här är en pekare till årets kurskatalog 2019, Från euklidisk till icke-euklidisk geometri, gå där till sidan 17f.
- - - Stort Tack till ALLA som kom och kommer !
Boktips återfinns längst ned på denna sida.
Om någon av de frågor som ställts efter en föreläsning icke fick tillfredsställande svar, så kan du skriva ett ebrev till jockum@kth.se och se om jag har funnit bra svar.
Om du saknar något viktigt namn nedan så kontakta mig.
Den som saknar små roliga räkneuppgifter i nära anslutning till föreläsningarna få gärna höra av sig.
Rekommendationer till bilder och för vidare läsning:
_________________________________________________________
Den grekiska perioden. Ordet matematik eller mathematik kommer från grekiskans Ta mathematika' som är pluralis, varav franskans Les mathématiques och engelskans mathematics. Ordet betyder ungefär det man (har) lärt sig, det inlärda, det utlärda, och kommer av ordet mathema, som står för kunskap, lärande, och i sin tur kommer av verbet mathai'no, (att) lära (sig).
Det vackraste [och bästa(?)] beviset för Pythagoras' sats.
Ett flytande, strömmande bevis för Pythagoras.
De fem och på skärmen roterande (!) s k platonska kropparna utgör höjdpunkten i Eukleides' verk Stoikheia alias Elementa. Man tror att det var Theaitetos som bevisade att de var just fem till antalet.
Arkhimedes (Arkimedes, Archimedes) från Syrakusa beräknade arean av ett parabelsegment, vilket på engelska kallas the quadrature of the parabola. Här finns samma bilder med grekisk text.
På sin gravsten sägs han velat ha en figur som visar en sfär inskriven i en cylinder.
Den Arkhimedes-palimpsest som den danske professorn Johan Ludvig Heiberg fann i Konstantinopel år 1906 blev världsberömd.
Om det transcendenta talet pi kan man läsa hur mycket som helst. Här står litet om Arkhimedes' berömda instängning av detta berömda tal. Den grekiska bokstaven π (pi) infördes av William Jones år 1706 och populariserades av den produktive Leonhard Euler. Se även ein bisschen auf Deutsch, och litet mer om hur pi blev standard in English.
Om gradvis allt bättre approximationer för pi står här.
Apollonios från Perga är berömd för sitt storverk Konika (eng. Conics, fra. les Coniques, sv. Kägelsnitt) i åtta delar, som innehöll åtminstone 387 satser. De fyra första böckerna finns bevarade på originalspråket grekiska, bok fem-sju i arabisk översättning av Thabit ibn Qurra , medan bok åtta verkar ha gått förlorad. Apollonios snittar i verket Konika en och samma dubbelkon med olika plan för att få alla olika typer av kägelsnitt och inför de oumbärliga termerna
parabel (grek. parabole, eng. parabola),
ellips (grek. elleipsis, eng. ellipse) och
hyperbel (grek. hyperbole, eng. hyperbola).
Har man problem med alla de olika "koniska parametrarna" såsom "latus rectum" och excentricitet kan man titta HÄR.
En lista med namn och årtal för de mathematiker som skrev på grekiska finns som pdf-fil och som postscript-fil.
En liten (subjektiv) lista över de viktigaste matematikerna på grekiska (den kan lätt göras längre!) :
Thales
Pythagoras
...
Theaitetos
Eudoxos
...
Menelaos
...
Eukleides/Euklides
Arkhimedes
Eratosthenes
Apollonios från Perga
Hipparkhos
...
Klaudios Ptolemaios
Diofantos
Pappos
...
Hypatia
Mycket finns att läsa om Hypatia (dräpt år 415 [eller 416] e.Kr. i Alexandria) på bl a tyska, engelska och franska.
Här kan Du se ett bevis för den vackra Menelaos' sats, Satz von Menelaos eller på engelska. Det var denna planimetriska version som som han sedan översatte till versionen för sfärisk geometri, som ligger till grund för många formler för sfäriska trianglar uti Ptolemaios' Almagest.
Klaudios Ptolemaios' vackra sats om "cykliska kvadrilateraler" (fyrhörningar som kan inskrivas i en cirkel). Från denna likhet får man de s k ptolemeiska fyrlingarna.
Kul läsa litet om den regelbundna heptagonen (sjuhörningen), som *icke* kan konstrueras medelst passare och (omarkerad) linjal, men däremot med *markerad* linjal och passare: en s k neusis-konstruktion.
Oxo kul läsa om ev. ursprung till de sju veckodagarnas namn.
_________________________________________________________
PEKARE till bilder avsedda att visas i sal den 28 oktober:
SFÄRISK GEOMETRI: allmänt,
Sphärische Trigonometrie mit Kugeldreiecke
Sfäriska sinus-satsen
Sfäriska cosinus-satsen
Om sfäriskt vinkelöverskott (excess) (med färgbild)
HYPERBOLISK GEOMETRI:
En triangel med vinkelsumma mindre än två räta vinklar.
En enmantlad hyperboloid med divergerande linjer.
Ferdinand Minding med pseudosfären alias traktrikoiden, som oxo finns i dubbel upplaga.
Eugenio Beltrami och en ung Felix Klein;
Beltrami-Kleins modell.
En ung Henri Poincaré och hans
enormt vackra konforma cirkelmodell.
Tre bilder. Först hela planet uppfyllt av liksidiga gula trianglar med Schläfli-symbol { 3 , 7 } , döpt efter
den schweiziske matematikern Ludwig Schläfli (1814-1895).
Eschers blå bild; jfr hans röda bild, av den
nederländske konstnären Maurits Cornelis Escher (1898-1972).
En hypercirkel alias en EKVIDISTANT (kurva).
Två vackra horocykler.
Modell på ena halvan av en tvåmantlad hyperboloid.
Här kan man jämföra de två modellerna (Kleins och Poincarés).
Äntligen: Det fantastiskt vackra och enkla SAMBANDET mellan Kleins och Poincarés modeller !
Platta tapetmönster med start hos Kepler.
_________________________________________________________
Den indiska subkontinenten; matematik på sanskrit.
Om de indiska siffrorna OCH hur de uttalades på sanskrit och NU uttalas på (dotterspråket) hindi.
Brahmaguptas vackra formel för arean av en cyklisk kvadrilateral har Herons formel för arean av en godtycklig triangel som ett specialfall.
Viktiga matematiker på sanskrit:
Aryabhata
Brahmagupta
...
Madhava
_________________________________________________________
Matematik på arabiska.
Här är de arabisk-språkiga matematikerna, varav många var persiska. Den berömda boken om al-jabr av al-Khwarizmi översattes bl a av Robert of Chester och av Gerard av Cremona.
_________________________________________________________
Matematik i Europa under medeltiden, främst på latin.
Bland dem som försökte införa de *indiska* siffrorna i Europa återfinns
Gerbert d'Aurillac (= påven Silvester II; se oxo de vackra siffrorna från år 976),
Adelard of Bath och
Leonardo Pisano ( som *lyckades* ! )
Viktiga översättare var bl a
Robert of Chester, (där oxo ordet sinus dyker upp),
Gerard av Cremona och
Fedrico Commandino.
Hastighetsdiagram ritades först av Nicole Oresme
Tecken och skrivsätt:
Leonardo Pisano
Nicolas Chuquet
Luca Pacioli
(Johann Widman)
(Heinrich Schreiber)
Christoff Rudolff
Robert Recorde
(Michael Stifel)
Perspektiv: De tre italienska arkitekterna/konstnärerna
Filippo Brunelleschi
Leon Battista Alberti
Piero della Francesca
använde och utvecklade perspektivläran.
_________________________________________________________
Matematiken i Europa börjar taga fart efter den långa "törnrosasömnen".
Tredjegradsekvationen:
Scipione del Ferro
Antonio Maria Fiore
Annibale della Nave
Niccolò Tartaglia (där italienska gl uttalas som lj)
Gerolamo Cardano
Lodovico Ferrari
Rafael Bombelli
"Bokstavsräkning":
François Viète
Thomas Harriot
William Oughtred och
René Descartes alias Renatus Cartesius, som låg begravd i Stockholm åren 1650-1666. Ett epitafium till hans minne finns i Adolf Fredriks kyrka i Stockholm. Descartes' matematiska insatser var säkert mycket betydelsefulla för den unge Isaac Newton.
Astronomins betydelse för matematikens utveckling kan ej överskattas:
Klaudios Ptelemaios med Almagest,
Nicolaus Copenicus (Niklas Koppernigk) var av allt att döma en tyskspråkig kanik och vetenskapsman i biskopsdömet Ermland (Warmia), som var omringat av Preussen. Ermland stod under polskt beskydd.
Copernicus fick stor hjälp av sin ende elev, den tyske matematikern Georg Joachim Rheticus, med att få sitt magnum opus tryckt.
Tycho Brahe
Johannes Kepler
Galileo Galilei
Isaac Newton
Edmond Halley
Decimaltal:
al-Kashi
Simon Stevin med De thiende.
Logarithmer (och talet e):
John Napier (Neper på latin)
Jobst Bürgi
Henry Briggs
Grégoire de Saint-Vincent
Alphonse Antoine de Sarasa
Nicolaus Mercator
Jakob Bernoulli
Leibniz
Johann Bernoulli
Euler.
"Prekalkyl":
Descartes' banbrytande verk La Géométrie går bra att läsa än idag i original.
Bonaventura Cavalieri
Pierre de Fermat
Gilles Personne de Roberval
Evangelista Torricelli (en français) & in italiano).
( Frans van Schooten [uttalas skåtn] översatte Descartes till latin.)
(Henry Oldenburg, född Heinrich Oldenburg i Bremen, korrespondent, Secretary of the Royal Society in London.)
John Wallis
( René de Sluse, jfr MacTutor.)
Johan de Witt
Blaise Pascal
( Johannes Hudde)
Christiaan Huygens med rätt *uttal* !
Isaac Barrow
(Hendrik van Heuraet)
James Gregory
KALKYLEN (se pekare ovan):
Newton
Leibniz
Jakob Bernoulli
Johann Bernoulli
Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange, född Giuseppe Lodovico Lagrangia.
De oumbärliga Bernoulli-talen.
Mot icke-euklidisk geometri:
ibn al-Haytham (al-Haitham, Alhazen) eng: bild
Umar ... al-Khayyami (Omar Khayyam)
Nasir al-Din al-Tusi (Nasr-ed-din)
Girolamo Saccheri
Johann Lambert
Schweikart, onkel till
Franz Taurinus
Bolyai János
Nikolaj Lobatjevskij på svenska och engelska
Carl Friedrich Gauss
Hermann von Helmholtz
Bernhard Riemann
Eugenio Beltrami
William Clifford
Poincaré
Hilbert
Einstein
Om numerisk matematik på väg mot datorer:
Klaudios Ptolemaios
Logarithmer
Kepler
Richard Delamain, en cirkelrund räkne"sticka", men han verkar ha fått idén av sin lärare
William Oughtred, som konstruerade den (vanliga, raka) räknestickan, vilken var alla ingenjörers obligatoriska verktyg fram till år circa 1970.
Wilhelm Schickard, plan för en räknemaskin.
Pascal, dito
Leibniz, dito
Potensserier, fr o m Newton.
En av de allra första algoritmerna: Newton-Raphson, som fortfarande utvecklas.
Euler räknade jämt: Condorcet skrev om Eulers död : ... il cessa de calculer et de vivre (... han slutade räkna och leva).
Laplace, Mécanique céleste.
Upptäckten av planeten Uranus år 1781.
Dito Neptunus år 1846 efter långa räkningar.
Charles Babbage planerade en differensmaskin.
Ada Byron alias Ada Lovelace skrev ner det första utkastet till ett flödesschema eller datorprogram (software program) för att rekursivt beräkna de berömda Bernoulli-talen.
Den teoretiska grunden för dagens datorer anses Alan Turing ha lagt. Då de första fungerande elektroniska räknemaskinerna konstruerades spelade matematikern John von Neumann en stor roll.
_________________________________________________________
Cykloiden är en mycket intressant kurva; det står mer i den engelska wikipedia-artikeln.
Kurvan med den kortaste tiden, brakhystokhronen, är en upp-och-nedvänd cykloid (*mycket* mer därom på engelska).
Referenser:
Katz, en mycket uttömmande bok, se pekaren nedan.
Den förmodligen bästa framställningen på svenska i en volym är
Boris Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, Åbo Akademi, 1995.
Som ett helt uppslagsverk framstår
J. Newman, SIGMA. En matematikens kulturhistoria, sex band, 1959, översatt från engelska.
Rolig bok: Matematikens gryning, redaktör Émile Noël, Studentlitteratur, 280 sidor, 2008. (Det franska originalets titel lyder: Le matin des mathématiciens - Entretiens sur l'histoire des mathématiques présentés par Émile Noël, 1985.) Den handlar om Antiken, Mesopotamien (Tvåflodslandet) och det medeltida Europa. Den baserar sig nog på inspelade samtal i franska radion.
Arvet från Bagdad av Ingmar Karlsson, Historiska media, 2014, circa 250 sidor, är en intressant bok, som kräver åtminstone ett tjog kommentarer. Jag hoppas få dem nederskrivna här.
Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, tre volymer, 1972.
En prisbelönt bok om Galileo Galilei heter Da jorden stod stille av den produktive norske författaren Atle Næss, Gyldendal norsk forlag, 2001.
Helt fantastisk tycker jag följande bok är:
Philip J. Davis & Reuben Hersch, The mathematical experience, 1981.
En pekare till en vacker sjua borde hitta vägen hit.
Bland skönlitterära och suggestiva böcker om matematiker kan nämnas
Mitt liv som Pythagoras av den finlandssvenske författaren Fredrik Lång;
Arkimedes - matematiker, vapenmakare, stjärnskådare, av Roland Poirier Martinsson; här är mina synpunkter (som dvi-fil) på denna bok om Arkhimedes.
Stjärneborg av Alexandra Coelho Ahndoril, om Tycho Brahe;
Kjære Voltaire, roman, av Margit Walsø, Gyldendal norsk forlag 2007, circa 180 sidor (originalet på nynorsk; finns även på tyska). Den handlar om Émilie du Châtelet, som översatte Newtons storverk Principia från latin till franska, och förklarade det för Voltaire;
Die Vermessung der Welt (Världens mått) av Daniel Kehlmann, bl a om Gauss.
En skönlitterär bok, som delvis handlar om den världsberömde tyske matematikern Bernhard Riemann (känd bl a för den ännu obevisade s k Riemanns förmodan) heter Roten ur minus en och är skriven av Atle Næss, Gyldendal norsk forlag 2006, circa 190 sidor.
Här är en pekare till en fil med referenser och pekare till datorprogram och museér.
Våra alfabet har en lika spännande utvecklingshistoria som mathematikens symbolspråk.
Geometriska konstruktioner med passare och linjal är en *rolig* och klassisk matematisk deldisciplin, där de tre "klassiska" grekiska problemen inspirerade mycken matematisk utveckling ity de visade sig vara olösbara enligt de stränga regler som bl a Platon knäsatte.
Den franske matematikern Nicolas Chuquet införde ordet byllion redan år 1484, men alltsedan dess har det haft olika betydelser. Här kan man läsa om den korta och den långa skalan/skalorna, som orsakat så många missförstånd.
Tre av Matematikhistoriens viktigaste språk är grekiska, arabiska och latin. Här kommer några varianter på de latinska räkneorden:
För det första, för det andra, för det tredje, heter pro primo, pro secundo, pro tertio, pro quarto, pro quinto, pro sexto, pro septimo, pro octavo, pro nono, pro decimo.
Ett ord quattor fanns oxo.
W. R. Hamiltons ord kvaternion bygger däremot på det latinska "quaterni", som betyder 4 i taget eller 4 var. Det tillhör en särskild grupp räkneord, s.k. distributiva räkneord, där 1, 2 , 3, 4 i taget heter
singuli, bini, terni (eller trini), quaterni osv.
En preliminär pekare till raderna i en vers om en stackars parabel: En tråd på nätet om Lennart Hellsing.
En berömd bok om historia av Jared Diamond: Guns, germs, and steel.
Sidansvarig: Jockum Aniansson
Uppdaterad 26 oktober 2019 eller senare.