Detaljerad information för diarienr 2006-3279
		Besl. instans: NT Ämnesområde: Matematik & teknisk matematik Beslutsdat: 2006-11-08 Namn: Jonsson, Jakob Titel: Fil doktor Kön: Man Univ./Institution: Kungl Tekniska Högskolan - Institutionen för Matematik Projekttitel: Samband mellan topologisk kombinatorik och andra områden inom matematiken Project title: Interactions between topological combinatorics and other fields of mathematics Värdhögskola: Kungl Tekniska Högskolan SCB-klassificering: Diskret matematik Beviljat(SEK): Bidragsform/Finansieringskälla   2007 2008 2009 2010   Anställning som forskarassistent/ Vetenskapsrådet, naturvetenskaplig-teknikvetenskaplig forskning   862000 862000 862000 862000   Projektbidrag fo ass/Vetenskapsrådet, naturvetenskaplig-teknikvetenskaplig forskning   53000 38000 38000 38000 Beskrivning: Populärvetenskaplig beskrivning Mitt ämne är topologisk kombinatorik, en gren inom matematiken som förenar å ena sidan grafteori och diskret matematik och å andra sidan algebraisk topologi. Inom grafteorin studerar man objekt kallade "grafer". Sådana objekt består av ett antal punkter, kallade "hörn", och en uppsättning linjestycken, kallade "kanter", som sammanbinder olika par av hörn. Ett praktiskt exempel är en schematisk vägkarta där städer representeras av hörn och vägar mellan städerna representeras av kanter. Grafteorin är ett delområde av den diskreta matematiken, som lite slarvigt kan beskrivas som det område av matematiken där man studerar problem av "ändlig" karaktär. Som exempel kan nämnas enumerativa problem, vilka går ut på att bestämma antalet objekt i en ändlig mängd, exempelvis antalet möjliga lottorader med ett visst antal rätt. Andra diskreta problem handlar om att ordna element på ett sätt så att de uppfyller vissa villkor. Några klassiska exempel är latinska kvadrater och färgläggningar av politiska kartor. Inom den algebraiska topologin, eller snarare den förenklade variant som jag är intresserad av, studerar man geometriska objekt: punkter, cirklar, månghörningar, kuber, klot och så vidare. Man är framför allt intresserad av att undersöka när ett objekt kan överföras i ett annat via deformeringar och omformningar. Exempelvis kan man "platta till" en tredimensionell kub så att man får en tvådimensionell kvadrat. Man kan även "krama om" kuben så att man får ett tredimensionellt klot. Genom att införa vissa regler för vad man får och inte får göra erhåller man en indelning av alla geometriska objekt i klasser av "ekvivalenta" objekt, där varje enskild klass innehåller alla objekt som kan omformas i varandra enligt de givna reglerna. En typisk regel är att förbjuda omformningar där man bryter sönder ett objekt. En annan regel är att inte tillåta att man lägger till eller fyller igen ett "hål" som är helt inneslutet i objektet. Exempelvis är det inte tillåtet att gröpa ur ett massivt klot så att man bara får kvar klotets hölje, det vill säga en tredimensionell sfär. En grundpoäng med algebraisk topologi är att försöka fånga kärnegenskaperna hos ett geometriskt objekt, till exempel hur många "hål" det innesluter. Den brygga från diskret matematik till algebraisk topologi som utgör själva hjärtat i min forskning går ut på att man tolkar familjer av mängder som geometriska objekt, så kallade "simpliciella komplex". Dessa objekt är uppbyggda av byggklossar kallade "simplex", en för varje dimension. De noll- och endimensionella klossarna är desamma som för grafer, alltså hörn respektive kanter. I den närmast högre dimensionen hittar vi triangelskivor, alltså tvådimensionella objekt vars rand är uppbyggd av en triangel bestående av tre kanter och tre hörn. Nästa objekt är tetraederblocket, vars rand består av fyra triangelskivor, sex kanter och fyra hörn. Här kan man skönja ett mönster som sedan fortsätter i högre dimensioner; för att bilda ett simplex av dimension d behöver man d+1 simplex av dimension d-1, och resultatet har d+1 hörn. Man erhåller kopplingen mellan mängder och simplex genom att identifiera varje element i en given mängd med ett hörn och sedan bilda ett simplex med dessa hörn. Exempelvis ger en mängd med två element upphov till ett simplex med två hörn, alltså en kant. En mängd med tre eller fyra element ger på samma sätt upphov till en triangelskiva eller ett tetraederblock. Om vi har en familj med mängder erhåller vi sålunda en hel uppsättning med simplex, närmare bestämt ett simplex för varje mängd. Vi konstruerar vårt simpliciella komplex genom att klistra ihop byggklossarna på det "naturliga" sättet; hörn som svarar mot samma element identifieras, liksom kanter, triangelskivor och simplex av högre dimension. Genom att studera det erhållna objektet ur ett topologiskt perspektiv kan man sedan dra intressanta slutsatser om den ursprungliga familjen. Det beskrivna området i gränslandet mellan diskret matematik och topologi är ett mycket livaktigt forskningsområde, både i Sverige och i utlandet, kanske framför allt i USA, Tyskland, Israel och Ryssland. Det finns många exempel på hur ett svårt problem inom diskret matematik har funnit en lösning genom att man har tillämpat topologiska metoder, och det är bland annat detta jag har förhoppningar om att kunna uppnå med min forskning.