augusti 2002, KTH.

Introduktion

Välkommen till Inledande kursen i matematik!

Kursnummer: 5B1120
Studiemedelspoäng: 1

  Denna läsanvisning är avsedd som stöd för kursboken Dunkels, Klefsjö, Nilsson, Näslund: Mot bättre vetande i matematik (tredje upplagan 2002).
  Inledande kursen täcker delar av kapitlen 1 - 5 och 8-9 av denna bok , som ger en nyttig repetition av matematiskt stoff på i huvudsak gymnasienivå. Erfarenheten visar att nyanlända teknologer ofta har vissa kunskaps- och/eller minnesluckor om just detta material. Inledande kursen fyller därmed en viktig funktion för de flesta elever. Vi hoppas att du utnyttjar detta tillfälle att ge dina KTH-studier en flygande start.
  Dessa läsanvisningar utgör ett förslag till studieväg genom bokens kapitel 1-5 samt 8-9.
För varje kapitel anges i läsanvisningarna vilka delar som rekommenderas i första hand. De avsnitt som inte ingår i denna kurs har satts inom parentes under varje kapitelrubrik.
I slutet av varje kapitel finns dessutom ett avsnitt med blandade uppgifter, som inte omnämns i läsanvisningarna men som rekommenderas för den som vill ha extra övningsmaterial.

I kursboken förekommer faktarutor, koncentrerade faktaavsnitt omgivna av dubbelstreckade ramar. Dessutom finns lösta exempel, inom enkelramar, samt en hel del övningsuppgifter.
I anvisningarnas vänstra kolumn listas i en lodrät rad de föreslagna faktarutorna, exemplen och övningsuppgifterna.
Faktrarutorna representeras av ikonen
och exemplen av ikonen .

Mitt på sidan finns kommentarer av olika slag. I slutet av varje kapitelavsnitt finns där också förslag på testuppgifter ( som ger dig svar på frågan: Har jag förstått det här? ). Efter testuppgiften finns en sammanfattningsruta som ger en överblick över avsnittets huvudpunkter.

I kursen ingår 14 st Inlämningsuppgifter. Dessa är inarbetade i läsanvisningarna genom inlagda hänvisningar (ILU 1.3, ILU 2.5 osv. ) på lämpliga ställen. Inlämningsuppgifterna finns endast i pappersversioner och utdelas under kursens gång.

Lycka till!

  Gunnar Johnsson

Kapitel 1

Kapitel 1 består av följande avsnitt:

 
(1.1 Numeriska beräkningar)
1.2 Räkning med bråk
1.3 Algebraiska beräkningar
1.4 Kvadratrötter
1.5 Ekvationslösning
1.6 Kvadratkomplettering
1.7 Formler
1.8 Funktioner

Här hoppar vi över 1.1 som bör vara tillräckligt välkänt.

 
 
 

1.2 Räkning med bråk

 

s.10
s.10
s.11		 Läs först de tre faktarutorna om

addition
multiplikation och
division med bråk.



1.7a
1.7c
1.8a
1.8c
 		I avsnitt 1.2 övas på detta enbart med sifferuttryck.


s.12
1.11a
1.11e
1.14a
1.14c 		På s. 12 överst formuleras potensregler.

Ex. på sifferräkning med potenser.
 
  • Minsta gemensamma nämnare
  • Överföring till gemensamt bråkstreck
  • Hantering av multipla bråkstreck
  • Potensräkning
Ovanstående återkommer i 1.3 men då också med parametrar och variabler.
 

1.3 Algebraiska beräkningar

 
Detta är ett nyttigt avsnitt där man övar på algebraiska uttryck med variabler och parametrar, alltså inte enbart sifferuttryck.

Läs igenom s. 13-14 och notera påpekandet om division med 0 nederst på s. 14.
Repetera också kvadreringsformlerna och konjugatregeln överst på s. 15.

s.15
s.15
1.15ab
1.15fg
1.15i  
1.16ab
1.17bc
1.21acd
1.24ac
Exempel på användning av kvadreringsregeln.

Exempel på användning av konjugatregeln.

s.17
126a
1.26c
1.26d
1.26e
 		Exempel på överföring till gemensamt bråkstreck för bokstavsuttryck.



I 126e är det särskilt viktigt att faktorisera nämnarna så att man hittar den minsta gemensamma nämnaren.

s.18
s.18
1.27a
1.27b
1.27e
1.27f
Två exempel på hantering av multipla bråkstreck.



Ibland kan man bli av med bråkstreck genom att multiplicera täljaren och nämnaren med samma väl valda uttryck (gäller 127e och f).

s.19
1.28a
1.28e
Exempel på utbrytningar.


TEST: 1.26h  
    För bokstavsuttryck:
  • Kvadrerings- och konjugatregeln
  • Bråkhantering:
    Omskrivning till ett bråkstreck
    Multipla bråkstreck 

 
 
 

 



  
 



 
  
 





 
 1.4 Kvadratrötter
 




s.20
Ex. på förenkling av kvadratrötter
 





s.21



1.29c

1.30a

1.30c

1.33a



Definition av kvadratrot




 
Test: 1.30d.








    

  • En kvadratrot är ett tal som aldrig är negativt

  • Knepet att bli av med kvadratrötter i nämnaren










 
 
 

 
 
  
 

 



 

1.5  Ekvationslösning








1.34a

1.34c		
 
 





s.22

s.22		
Ex. på ekvationslösning, faktoriserad ekvation

Ex. på ekvationslösning m.hj.a. faktorisering		




1.35a

1.35c


 




 
Test: 1.34e








    

  • Faktorisering som medel att lösa ekvationer

    (Faktorisera hela vänsterledet.
    
Högerledet bör vara = 0)

    



























 
  
 





 

 1.6 Kvadratkomplettering


 
Avsnittet börjar med en geometrisk tolkning av kvadratkomplettering.

Detta kan vara upplysande för vissa. Andra kan lika gärna hoppa över det. 		





s.23



1.36a

1.36b

1.36c


Ex. på kvadratkomplettering



ILU 1.1
Test: 1.36f








    

  • Tekniken med kvadratkomplettering

    (Bör övas in!)

    



























 
  
 







 

1.7 Formler  





1.37

1.39

1.48



Några verklighetsanknutna exempel på formelhantering





 
Test:1.45,1.47
 













 
  
 





 

1.8 Funktioner  






s.25-26



1.49a

1.49d

1.50 

1.52d

1.52e

1.52f

1.52g


Ex. på substitution i funktionsuttryck




 
Test: 1.53








    

  • Hantering av substitutioner i allmänna funktionsuttryck;
    

     f(a+b), f(1/a) osv.
    

 		









 








 
  
 





 

1.9 Summor  




 
Läs först på s. 27-28 om hur summasymbolen används.

Notera också formeln för summan av en ändlig geometrisk serie.

Observera att antalet termer är n och sista termen arn-1
 ii formeln.




s.28


1.54

1.55b

1.55e




Exempel på beräkning av geometriska summor.





 
Test: 1.55c








    

  •  Användning av summasymbolen

  •  Beräkning av geometriska summor

 		



























  




  










Kapitel 2 


Kapitel 2 består av följande avsnitt:





 





 2.1 Polynom

 2.2 Rationella funktioner

 
 (2.3 Partialbråksuppdelning)

 2.4 Polynomdivision

 2.5 Andragradsekvationer

 2.6 Tredjegradsekvationer

 2.7 Rotekvationer

 2.8 Olikheter

 
 (2.9 Absolutbelopp)









 










 

 
2.1 Polynom




s.31
Definition av polynom



 

s.31



2.1c

2.1e

Ex. på omformning av polynom till normalform









Kom ihåg: (a + b)3=  a3+  3a2b+  3ab2+ 
b3 













s.32



2.2b		
Ex. på bestämning av ett polynoms grad 



 
Test: 2.2d








    

  • Definition av n:tegradspolynom.

  • Omskrivning, via parentesmultiplikationer, till polynomets normalform










 
 









 
 
 
 
2.2 Rationella funktioner 



s.32
Definition av rationell funktion





s.32-33


2.3d

2.3f		
2 exempel på omskrivningar av rationella 
funktioner till formen med ett bråkstreck 		




 Test: 2.3g








    

  • Omskrivning till ett bråkstreck

    (Repetition av avsnitt i Kap. 1)
    










 
 










 








 




 
 
2.4 Polynomdivision  
 




s.28-29
Definition av rest och kvot vid polynomdivision





s.35


2.5a

2.5d		
2 exempel på polynomdivision



ILU 1.2 Test:2.5e 








    

  • Polynomdivision

    (Det finns flera tekniker för polynomdivision. Har du lärt dig en annan en kursbokens gör det ingenting. Bara du kan på något sätt)
    










 
 












 
2.5 Andragradsekvationer 




s.37
Om lösningen till en andragradsekvation





s.37
3 exempel på lösning av andragradsekvationer





s.38



2.6a

2.6g

2.6h

2.8a

2.8b

2.8c

2 exempel på lösning av andragradsekvationer


 
 Test:2.7b och 2.7d  








    

  • Lösningsformeln för andragradsekvationer

  • Att inte använda lösningsformeln på en ekvation som redan är faktoriserad









 
 










 


2.6 Tredjegradsekvationer  




s.39
Faktorsatsen





s.39



2.10b		
Ex. på lösning av tredjegradsekvation medelst
 gissning		
 




s.40



2.11c		
Ex. på faktoruppdelning av tredjegradspolynom

via rotgissningar		
 



 Test:2.11d 








    

  • Sambandet mellan rötter och faktorer (Faktorsatsen)

    Någon uttömmande teori för lösningar till tredjegradsekvationer ger ju inte kursboken. I nätversionen av dessa anvisningar finns länkar till mer uttömmande förklaringar som den nyfikne hänvisas till  
    










 







 


2.7 Rotekvationer  




s.41
Definition av rotekvation




s.41-42
Ex. på lösning av rotekvation








2.15a

2.15b







OBS. Kom ihåg att alltid pröva den erhållna lösningen i ursprungsekvationen! Studera exemplet på s.41-42!







ILU 1.3Test:2.15d  








    

  • Bortskaffande av rotuttryck medelst kvadrering

  • Lösning och prövning av svaret











 





 


2.8  Olikheter



s.42



2.16a		
Ex. på lösning av en olikhet med tabellmetoden 

via faktorisering		




s.43


2.17a		
Annat exempel på samma sak




s.42-43


2.16c

2.18a

2.18c		
Samma typ av exempel som tidigare men 
med variabel nämnare		



 Test:2.18d 








    

  • Tabellmetoden (faktorisera först!)










 








 






 
 

 





  
 








   Kapitel 3 

 Kapitel 3 består av följande avsnitt:


 
 







 3.1 Rötter

 3.2 Potenser

 3.3 Logaritmer

  

























  
 






3.1 Rötter




s.50


s.50


s.51



3.2b

3.3b

3.3g		
Definition av n:te roten ur ett positivt heltal


Exemplet 


Exemplet 







Observera skillnaden mellan "  " och "lösningen till ekvationen  xn = a "










s.52


s.52



3.4c

3.4e

3.5

Rotlagar


Ex. på omskrivning av rotuttryck




 
Test:3.4f








    

  • Definition av n:te roten ur ett positivt heltal

  • n:te roten ur ett negativt heltal existerar om n är udda
    
(se  s.51,  överst)

  • Rotlagarna





























 
  
 




3.2 Potenser





s.53


s.53



3.6f

3.6g

3.7a

3.7d

3.8

Definition av  am/n


Ex. på omskrivning av potensuttryck






s.54


s.54



3.9d

3.9e

3.9f

3.10f

3.10g

Potenslagar


Ex. på användning av potenslagar






s.55



3.12a

3.12c



s.55



3.14a

3.14c		
Ex. på storleksjämförelse

mellan potensuttryck




Ex. på ekvation med potensuttryck




ILU 1.4
Test:3.10h och 3.14b








    

  • Definition av potensuttrycket  aq där  q  är ett rationellt tal

  • Potenslagarna

  • Storleksjämförelser (se ex. på s. 55)

  • Ekvationer med potensuttryck (se ex. på s. 55)





























 
  
 






3.3 Logaritmer




s.56






Definition av x = logay 







 Observera kurvan   y = ax 
 		










s.56




s.57


s.57


s.57


s.57


s.57


s.58




Om att  ax och  logax  är varandras inverser

varav följer att  x = alogax 




 loga1 = 0  och  logaa = 1 


Definition av  x = lg y 


Definition av x = ln y 



Ex.1 på användning av logaritmens
definition 


Ex.2 på användning av logaritmens
 definition 

Ex på ekvation med logaritm






3.15b

3.15c

3.15g

3.16b

3.16c

3.16e

3.16h

3.17a

3.17c

3.17e


 





s.58

Logaritmlagar




 




Observera att lag (15) också kan skrivas

 logbx  =  logba. logax 

vilket möjligen gör den lättare att komma ihåg











s.58


3.18a

3.18b

3.18c

3.18f

3.18g		
Ex.1 på användning av logaritmlagar







Ledning (3.18g):


 1 + 1 =  2/1 , 1 + 1/2 = 3/2 , 1 + 1/3 = 4/3 osv.  		









 


s.59


s.59


3.20b


s.60



3.22a

3.22b		
Bevis av logaritmlag (15)


Ex.2 på användning av logaritmlagar



 
Ex. på byte av bas i potensuttryck m.hj.a. logaritm






s.60



3.23a

3.23c		
Ex.1 på ekvationslösning med logaritmer






s.61


s.61



3.24a

3.24e

3.26b

3.27

Ex.2 på ekvationslösning med logaritmer


Ex.3 på ekvationslösning med logaritmer





ILU 1.5

ILU 1.6

ILU 1.7		
Test:3.23e, 3.25a och 3.26a







x antas > 0 i hela rutan



    

  • Definition av loga x

  •  Definition av ln x (= loge x, särskilt viktig) och lg x 
(=log10 x)

  • x = alogax
     (speciellt: x = eln x)

  •  loga a= 1 och loga 1 = 0 

    (speciellt:ln e = 1 och ln 1 = 0)

  •  Logaritmlagarna

  • Härledning av basbyteslagen (15)  

  •  Logaritmekvationer
    
 (OBS prövning av rötterna!) 

















 







 



Kapitel 4


Kapitel 4 består av följande avsnitt:





  
 





 







 
 (4.1 Grader och radianer)

 
 (4.2 Cosinus och sinus)

 4.3 Några grundläggande trigonometriska ekvationer

 4.4 Några  trigonometriska kurvor

 4.5 Tangens och cotangens

 4.6 Rätvinkliga trianglar

 4.7 Några  trigonometriska formler

 4.8 Trigonometriska ekvationer

 4.9 Ekvationen a sin x + b cos x = c 

 
 (4.10 Några övningar med miniräknare) 

 

OBS! De överhoppade avsnitten 4.1 och 4.2 innehåller
   grundläggande material. Avgör själv om du behöver repetera dessa!
  
































 
  
 






4.3 Några grundläggande trigonometriska ekvationer




s.76


s.76


s.76


s.77



4.14a

4.14d

4.15a

4.15d		
Ekvationen cos x = cos v 


Ex. På ovanst. ekvation


Ekvationen  sin x = sin v 


Ex. På ovanst. ekvation





ILU 2.1
Test: 4.15e










    
 Ekvationerna 

  • sin x = sin v och

  • cos x = cos v (v konstant)
    
(Viktigt att kunna ange de oändligt många lösningarna.
    
Studera de båda exemplen!)


























 
  
 






4.4 Några trigonometriska kurvor




s.78


s.79



4.16b

4.17b		
Ex.1 på två trigonometriska kurvor
i samma koordinatsystem

Ex.2 på två trigonometriska kurvor
i samma koordinatsystem




 










    

  • Grafen för y = cos x (s. 78)

  • Grafen för y = sin x (s. 78)
    
Observera att x-koordinaten anger vinkeln i radianer.
    
De trigonometriska funktionernas grafer är viktiga att känna till.
Med hjälp av dem kan man få minnesstöd för speglings- och translationsreglerna i avsnittet 'Cosinus och sinus'. Samma sak gäller för de oändligt många lösningarna till de trigonometriska ekvationerna i föregående avsnitt.  

























  
 




 

4.5 Tangens och cotangens
 



s.80







Definition av tan x och cot x

 







Notera grafen för y = tan x.   y = cot x finns på s. 81





 





s.80



4.18a

4.18b


Ex. på bestämning av tan- och cot-värden







s.81


s.81


s.82


s.82



4.20a

4.20c		
Tan och cot har perioden 


Ekvationen  tan x = tan v 


Ekvationen  cot x = cot v 


Ex. på ekvationer med tan och cot 		



 
Test:4.20d










    

  • Definition av tan x

  • Definition av cot x

  • De båda funktionernas grafer

  • Både tan och cot har perioden 

  • Ekvationerna tan x = tan v och cot x = cot v (v konstant)
    
Jämför lösningsmängderna för dessa ekvationer med motsvarande mängder för cos- och sin-ekvationerna i tidigare avsnitt!



























  
 




 

4.6 Rätvinkliga trianglar




s.83


4.21		
Cos, sin, tan och cot i samband med rätvinkliga
trianglar		



 







    

  • Repetition av de geometriska definitionerna av de
     trigonometriska funktionerna.

    
Glöm dock inte tolkningarna av dessa funktioner som kurvor givna av de tidigare behandlade graferna. I dessa tolkningar anges vinklarna (d.v.s. x-koordinaterna) i radianer


























  
 




 

4.7 Några trigonometriska formler




s.84


s.84


4.24a		
Additionsformlerna (2) - (5)


Härledning av formel (5) ur formel (2)		





s.84


4.25a

4.25b

4.25c		
Formler för dubbla vinkeln





s.85


4.26		
Formler för halva vinkeln



 
Test:4.24b










    

  • Additionsformlerna

  • Formlerna för dubbla vinkeln

  • Formlerna för halva vinkeln
    
Notera de två varianterna av formel (6) för cos 2v som ges av 4.25a och b.
Dessa kan också vara värda att lägga på minnet.
    

    Dessa formler bör läras in! Det är inte alltid man har tillgång till formelsamlingar.  



























  
 




 

4.8 Trigonometriska ekvationer




s.85


s.86


s.87


s.88


s.88



4.27a

4.28a

4.29a

4.30a

4.31a

4.31b		
Ex. på ekvation av typ cos x = A


Lösning av  sin x = cos 2x


Lösning av  cos2x = 1/2


Lösning av 2cos2x - sin x = 1


Lösning av cos 2x + cos x + 1 = 0











Ledning (4.31a):  Sätt varje faktor i vänsterledet = 0

Ledning (4.31b): Flytta över allt i vänsterledet och faktorisera		









 
ILU 2.2

ILU 2.3		
Test:4.31c









 Detta avsnitt ger möjlighet att tillämpa de tidigare genomgångna formlerna och ekvationslösningsmetoderna.

Exemplen och uppgifterna ger information om vad man behöver känna till

























  
 




 

 4.9 Ekvationen a sin x + b cos x = c 




s.89



4.32a		
Ex.1 på lösning av denna typ av ekvation





s.90-91


4.33b		
Ex.2 på lösning av denna typ av ekvation





s.91


4.34b		
Ex. på bestämning av amplitud och fasvinkel



 
Test:4.34c









    

  • Omskrivning av uttrycket
     a cos x + b sin x till
     A sin(x + ), där

  • A kallas amplitud och

  •  fasvinkel
    
(Denna omskrivning är bl.a. ett hjälpmedel vid ekvationslösning)












 








 





















Kapitel 5

 Kapitel 5 består av följande avsnitt:





  
 





 







 5.1 Linjer 

 5.2 Några andragradskurvor 

 5.3 Funktionskurvor 


 























  
 




 

5.1 Linjer 




s.97


s.97


s.97


s.98


s.99		
Linjens ekvation


Ex: Linjen y = 2x + 3


Ex: Sträcka


Definition av riktningskoefficient


Ex: Kurva bestående av två räta linjer		
 



 







    
Repetera

  • linjens ekvation och

  • begreppet riktningskoefficient











  













  
 




 

5.2 Några andragradskurvor 




s.100


s.100


s.101


s.101



5.05b

5.05e

5.05f		
Cirkelns ekvation


Ellipsens ekvation


Parabelns ekvation


Två exempel på andragradsekvationer		
 





s.102-103

 
s.103


s.104		
Ex. på klassificering av andragradsekvationer

m.hj.a. kvadratkomplettering



Hyperbelns ekvation med asymptoter.


Ex: Kurvan  x2 - 4y2 = 4 		
 



 








    

  • Cirkelns ekvation

  • Ellipsens ekvation

  • Parabelns ekvation

  • Hyperbelns ekvation samt begreppet

  • asymptot

























  
 




 

5.3 Funktionskurvor 



 Avsnittet innehåller inga fakta- eller exempelrutor.

Däremot finns en del nyttiga uppgifter som går ut på att handskas med funktionskurvor på olika sätt. Uppgifterna kan alla lösas m.hj.a. elementära kunskaper om funktioner. Derivator behövs däremot inte.		
 






5.08

5.09

5.13a

5.13b

5.17		
 
 



 








  
Om du vill ha ytterligare testfrågor på det material
 som kursens kapitel 1-5 täcker kan vi rekommendera Kapitel 10,
  Diagnostiska test s. 170.

Lämpliga testfrågor är:


    

  • Test 1: 10.1  - 10.6 , 10.9

  • Test 2: 10.12 - 10.17, 10.20-10.21

  • Test 3: 10.23 - 10.30, (10.31, 10.32 något svårare)

  • Test 4: 10.34 - 10.41.











 


















Kapitel 8. Komplexa tal.

 

 Kapitel 8 består av följande avsnitt:





  
 





 

 
 


  
       Introduktion
 
8.1 Division 

 
8.2 Komplexa talplanet 

 
8.3 Andragradsekvationer

 
8.4 Komplexa tal på polär form

 
8.5 Multiplikation och division av komplexa tal

         givna på polär form

 
8.6 Den komplexa exponentialfunktionen
 


 




 




 
 

  
 




 

 Introduktion 




s.144


s.145


s.146




Komplexa tal, definition


 Räkneregler, (a+bi)-form


 Räkneregler,  allmänna























 

8.1 Division




s.146




8.1 abc
8.1 dg
8.2 ab

ILU 2.4


Exempel på division.














 

8.2 Komplexa talplanet





 
s.149
 
s.149



8.7 abc

8.9 b

8.10


 Studera figurerna på s. 147-149.


Ex. på bestämning av absolutbelopp.

Räkneregler för absolutbelopp














 

8.3 Andragradsekvationer



s.150 
 

s.151 
 


8.15 abc

8.15 df


Två exempel på reella 2:agradsekvationer
 med komplexa rötter.

Exempel på komplexa 2:agradsekvationer.













 


 

8.4 Komplexa tal på polär form



  


OBS. Den praktiska exponentialfunktionen 

eiv = cos v + i sin v

från 8.6 kan användas redan här.






 
s.153 
 



8.16 acf


Studera figuren på s. 152

Exempel på polär form 












8.5 Multiplikation och division av komplexa tal givna på polär form.



 

  




 




s.154 


s.154 
  

8.18ab

8.19ab



 Studera formlerna på s. 153 och observera 

hur produktens 
 argument är summan av 
 
faktorernas argument.
 

Ex. på hur förenkling av exponentialuttryck underlättas

 m.hj.a polära koordinater.
 

Ex. på geometrisk tolkning av multiplikation.
 

 
 




















 

8.6 Den komplexa exponentialfunktionen



s.155


s.156


s.157


s.157



8.21 abcde

8.22  abeg


ILU 2.5



Definition av exponentialfunktionen.


Ex. på användning. 


Hur Eulers formler visas. 


Multiplikation och division (jfr 8.4).





 
   
   
   
  

















Kapitel 9. Polynom.

 

 Kapitel 9 består av följande avsnitt:





  
 





 

 
 


  
        Introduktion
 
9.1 Nollställen, rötter och faktorsatsen

 
9.2 Ekvationslösning 

 
9.3 Algebrans fundamentalsats

 
9.4 Samband mellan rötter och koefficienter

 
9.5 Polynom med reella koefficienter

  
 


 


 









 

 Introduktion



s.161 
 

s.161 
 



Divisionsalgoritmen för polynom. (Jämför 2.4).


Ex. på förenklad polynomdivision.

  


 







 

9.1 Nollställen, rötter och faktorsatsen.



s.162
 
s.162
 
s.162
 
s.162
 
9.1 ab

9.2 a

Division med x-a

Ex. på division med x-a

Faktorsatsen.

Ex. på användande av faktorsatsen.










 

9.2 Ekvationslösning.



s.163 

 
s.164 
 
s.164 
 
s.164 

 
9.7 a

9.10 ab



















ILU 2.6

Ex. på lösning av tredjegradsekvation efter

 gissning av en rot.

Villkor som heltalsrötter skall uppfylla. 

Dubbelrötter 

Ex. på ekvationslösning via faktoruppdelning








Ekvationen 

      zn = a   (a komplext)

är en s.k.  binomisk ekvation av grad n.,

Sådana ekvationer har rötter som bildar regelbundna n-hörningar i det komplexa planet.

Tyvärr förekommer inte sådana ekvationer i kursboken.

Här är ett exempel på en binomisk femtegradsekvation
 som löses m.hj.a polär form och den komplexa exponentialekvationen:
  
 

 
Anm. 1: Observera att det blir 5 st. rötter eftersom n=5 ger samma rot som n=0.
 
Anm. 2: Här ges svaret på polär form. Om rötternas vinklar ger kända värden på
  sin och cos förväntas man dock översätta svaret till 'a+ib'-form.
   





 


















 

9.3   Algebrans fundamentalsats
 och


9.4 Samband mellan rötter och koefficienter



s.165 

 
s.166 
 


Algebrans fundamentalsats 

(Varje polynomekvation har minst en komplex rot.)

Tilläggssatsen 

(Varje n:e gradens polynomekvation har i själva verket n st. komplexa rötter.)

9.4 tar upp sambandet mellan rötter och koefficienter.

Läses igenom.


 














 

9.5 Polynom med reella koefficienter.



s.166 

 
s.167

 
s.167

 
s.168

 
 9.15 ab
9.17 ab


ILU 2.7


Reella polynom har parvis konjugerade nollställen.



Motexempel mot ovanstående då polynomet ej är reellt.



Exempel på ekvationslösning då någon komplex rot är känd.



Ett reellt polynom kan faktoruppdelas i rella faktorer av grad 1 eller 2.