NAMN och personnr:

Lappskrivning Nr 2 i Komplex analys för T, måndagen den 30/11 1998

Version A
(Med Log z avses som vanligt principalvärdet av log z.)



  1. Visa med hjälp av ML-olikheten att
    |(z - 2/z) Log z dz |         32,
    där CR är enhetscirkeln i övre halvplanet från 1 till -1.



  2. Laurentutveckla f(z) = 3/[(1-z)(3 - 2z + z2)] i en punkterad omgivning av z = 1.
    Endast de tre första från noll skilda termerna behöver anges.
    Ange även utvecklingens konvergensområde.



  3. Bestäm integralen (3Log 2z)/(z-2)2 dz .
    C är cirkeln |z-2| = 1 tagen i positiv riktning.
    Tips: Glöm inte 2i !

NAMN och personnr:

Lappskrivning Nr 2 i Komplex analys för T, måndagen den 30/11 1998

Version B
(Med Log z avses som vanligt principalvärdet av log z.)



  1. Visa med hjälp av ML-olikheten att
    |(3z - 1/z) Log z dz |         42,
    där CR är enhetscirkeln i övre halvplanet från 1 till -1.



  2. Laurentutveckla f(z) = 5/[(2-z)(6 - 4z + z2)] i en punkterad omgivning av z = 2.
    Endast de tre första från noll skilda termerna behöver anges.
    Ange även utvecklingens konvergensområde.



  3. Bestäm integralen (2Log 3z)/(z-3)2 dz .
    C är cirkeln |z-3| = 1 tagen i positiv riktning.
    Tips: Glöm inte 2i !

Lösningar till LS2, 30/11 98, Version A



  1. |(z - 2/z)Log z| |z - 2/z| |Log z|
    (|z| + 2/|z|) (|ln 1 + i Arg z|) 3. på CR.
    Sätt M = 3

    CR:s längd = L = .

    ML-olikheten ger alltså: |(z - 2/z)Log z dz| ML = 3. = 32 VSV.
  2. 3/[(1 - z)(3 - 2z + z2)] = 3/[(1 - z)(2 + (1 - z)2)] = (-3/2)/[(z - 1)(1 + (1 - z)2/2)] =

    [(-3/2)/(z - 1)][1 - (z - 1)2/2 + (z - 1)4/4 + ....] = (-3/2)/(z - 1) + (3/4)(z - 1) + (-3/8)(z - 1)3 + ...

    Utvecklingen av den geometriska serien gäller då |(1 - z)2/2)| < 1 dvs. |z - 1| < .

    Laurentutvecklingens konvergensområde är alltså 0 < |z - 1| < .
  3. z = 2 är en pol av ordning 2 och den enda singulariteten för integranden inom C.
    I = 2i. Res[(3Log 2z)/(z - 2)2 , 2 ] = (Regel II) =
    2i. (3Log 2z) = 2i. (3/z) = 3i.

    Även generaliseringen av Cauchys integralformel kan användas.

Version B



  1. |(3z - 1/z)Log z| |3z - 1/z| |Log z|
    (3|z| + 1/|z|) (|ln 1 + i Arg z|) 4. på CR.
    Sätt M = 4

    CR:s längd = L = .

    ML-olikheten ger alltså: |(3z - 1/z)Log z dz| ML = 4. = 42 VSV.
  2. 5/[(2 - z)(6 - 4z + z2)] = 5/[(2 - z)(2 + (2 - z)2)] = (-5/2)/[(z - 2)(1 + (2 - z)2/2)] =

    [(-5/2)/(z - 2)][1 - (z - 2)2/2 + (z - 2)4/4 + ....] = (-5/2)/(z - 2) + (5/4)(z - 2) + (-5/8)(z - 2)3 + ...

    Utvecklingen av den geometriska serien gäller då |(2 - z)2/2)| < 1 dvs. |z - 2| < .

    Laurentutvecklingens konvergensområde är alltså 0 < |z - 2| < .
  3. z = 3 är en pol av ordning 2 och den enda singulariteten för integranden inom C.
    I = 2i. Res[(2Log 3z)/(z - 3)2 , 3 ] = (Regel II) =
    2i. (2Log 3z) = 2i. (2/z) = 4i/3

    Även generaliseringen av Cauchys integralformel kan användas.