Om Laurentserier

Antag att en funktion f(z) har singulariteter av typ poler (ex.vis nämnarens nollställen i en rationell funktion) i punkterna u, v och w. Om man då vill Laurentutveckla f(z) omkring z = z_o uppstår en situation som illustreras av figuren nedan:

Det komplexa planet delas in i ringformade områden av koncentriska cirklar med medelpunkt i z_o så att varje cirkel går genom någon singulär punkt.

Cirklarnas radier blir alltså i tur och ordning
u - z_o , v - z_o resp. w - z_o.

I varje ringformat område (inklusive den inre blå cirkeln och den yttre obegränsade gula ringen) finns då en viss Laurentutveckling av f som representerar funktionen i området i fråga.

Ex: Antag för enkelhets skull att f(z) är en rationell funktion, som alltså kan partialbråksutvecklas. Vi antar också att den term i f(z) som svarar mot singulariteten u är: f_u(z) = A/(z - u), dvs u är en s.k. enkelpol.
(På samma sätt antas singulariteterna v och w återfinnas i f_v(z) resp. f_w(z) så att
f(z) = f_u(z) + f_v(z) + f_w(z).)

f_u(z) kan utvecklas på två sätt omkring z_o.
Dels genom

(*)       

Denna utveckling, som vi benämner L_u(z), gäller för z - z_o > u - z_o.

Dels också genom

(**)       

Denna utveckling, som vi i stället kallar U_u(z), gäller för z - z_o < u - z_o.

På motsvarande sätt erhåller man utvecklingar för f_v(z) och f_W(z):

f_v(z) = L_v(z) för z - z_o > v - z_o. f_v(z) = U_v(z) för z - z_o < v - z_o. f_w(z) = L_w(z) för z - z_o > w - z_o. f_w(z) = U_w(z) för z - z_o < w - z_o.

Därmed får f(z) = f_u(z) + f_v(z) + f_w(z) följande utvecklingar i de fyra områdena I, II, III och IV givna i figuren nedan:

I.       f(z) = U_u(z) + U_v(z) + U_w(z)

II.       f(z) = L_u(z) + U_v(z) + U_w(z)

III.     f(z) = L_u(z) + L_v(z) + U_w(z)

IV.     f(z) = L_u(z) + L_v(z) + L_w(z)

Obs! Om utvecklingscentrum z_o sammanfaller med en singularitet u, utgör termen A/(z - u) = A/(z - z_o) sin egen Laurentutveckling omkring z_o. Ovanstående procedur är alltsdå inte tillämplig.