Bevisskiss:

Att f(z) är konstant visas genom ett argument som leder till att f'(z) måste vara 0.

Närmare bestämt utgår man från generaliseringen av Cauchys integralformel:

f⁽ⁿ⁾(z_o) =

i fallet n=1 som ju ger f'(z) i vänsterledet och (z - z_o)² i nämnaren i högerledet.
Om man låter C vara en cirkel med centrum z_o och med radien R, får man att beloppet av (z - z_o)² är R² på C.

Därav följer att beloppet av integranden är mindre än K/R² på C för något K, eftersom f(z) antas vara en begränsad funktion.

ML- olikheten ger nu ( M = K/R², L = 2R) att 2K/R.

Eftersom R kan väljas godtyckligt stor måste vara mindre än varje tal > 0 vilket ju innebär att måste vara 0 och alltså f'(z_o) = 0

Detta argument kan tillämpas på vilken punkt z_o som helst, vilket innebär att f'(z) = 0 överallt, dvs f(z) = konstant.

Algebrans fundamentalsats säkerställer att varje ickekonstant polynom P(z) har minst ett komplext nollställe.

Detta kan visas m.hj.a. Liouvilles sats genom att man antar motsatsen (dvs. att P(z) är ickekonstant och inte har något nollställe) och därav härleder en motsägelse.

Om P inte har något nollställe är nämligen 1/P(z) en hel funktion.
Och man kan lätt visa att 1/P(z) måste vara begränsad (detta visas i detalj på s. 196-197 i kursboken.). Därför följer av Liouvilles sats att 1/P(z) är konstant, vilket dock strider mot det ursprungliga antagandet att P(z) är ickekonstant.

Motsägelsen visar att P(z) måste ha något nollställe.