Introduktion
Ytligt sett kan kursen Komplex analys tyckas utgöra en repetition av den reella anlysen med den lilla skillnaden att man kallar variabeln z istället för x.
Ingenting kan vara felaktigare.
Den komplexa analysen innebär en väsentlig utvidgning av den reella. Man använder visserligen ofta de välkända elementära funktionrna, som ex och log x. Men bytet från den reella variabeln x till den komplexa z innebär att ett helt nytt perspektiv öppnas.
Bl.a avslöjas sambandet mellan ex och de trigonometriska funktionerna cos och sin.
Sambandet kan förklaras av att såväl ex som cos x och sin x figurerar i den analytiska komplexa funktionen ez.De analytiska funktionerna är kursens huvudpersoner.
Dessa funktioner visar sig under kursens gång ha en rad överraskande egenskaper som inte har någon reell motsvarighet.
- De definieras som funktioner deriverbara en gång, vilket förvånande nog leder till att de är deriverbara oändligt många gånger.
- Deras real- och imaginärdelar är faktiskt harmoniska funktioner, dvs lösningar till Laplace-ekvationen.
- Integralen av en analytisk funktion över en sluten kurva är märkligt nog alltid 0,
om det inte finns en singularitet innanför kurvan.
- Men i så fall kan man ändå ofta otroligt nog bestämma integralen med hjälp av en enda term i funktionens serieutveckling.(Residykalkyl).
- Och antalet nollställen inom ett område hänger på ett häpnadsväckande vis ihop med hur funktionen transformerar områdets randkurva. (Argumentprincipen).
Osv.
Tillämpningar?
Ja, kursboken innehåller en hel del tillämpningar från strömningslära, ellära, värmeledning, fraktalteori, transformteori osv.
Tyvärr har vi inte tid att inom kursens ram syssla särskilt mycket med allt detta.
Vilket naturligtvis är synd.
Särskilt på T-linjen borde man ha stor anledning att titta närmare på den klassiska strömningsteorin.
Denna beskrivs i termer av s.k. konforma avbildningar som utförs av just analytiska funktioner.
En annan viktig anledning att syssla med komplex analys återstår att nämna:
Kursen är en inkörsport till de mer utvecklade matematiska hjälpmedel som tenderar att behövas i seriösa fysikaliska tillämpningar som exempelvis
teorierna för både ordinära och partiella differentialekvationer, Laplace- och Fouriertransformer m.m.Eller annorlunda uttryckt:
Om man inte behärskar komplex analys riskerar man att bli avskuren från dessa och andra grenar av matematiken och fysiken.Komplex analys leder alltså till en högre nivå med ökad valfrihet vid valet av teoretiska och tillämpade ämnen.
gj 22/10 98