Vecka 6

Vecka 6
Veckans stoff omfattar resten av kapitel 6 där dock avsnitt 6.7 inte ingår i kursen. Detta innebär alltså följande tre delar:

6.5 Beräkning av integraler med residykalkyl, II.
6.6 Beräkning av integraler, III.
6.8 Komplex integrering av flervärda funktioner.
6.5-6 Beräkning av integraler med residykalkyl, II och III
I senare delen av kapitel 6 (6.4 - 6.8) använder man komplex integrering för att bestämma reella integraler.
Därvid rör det sig oftast om generaliserade integraler av typ
f(x) dx
I avsnitt 6.5 behandlar man integraler av denna typ med rationella funktioner som integrander.
I 6.6. behandlar man rationella funktioner i produkter med de trigonometriska funktionerna sin och cos.
Strategin i dessa fall är att man betraktar den komplexa integralen
f(z) dz
där C är en kurva av typ:

Integralen över den slutna kurvan C kan normalt beräknas med residykalkyl.
Integralen över C_R kan i många fall visas gå mot 0 då R går mot oändligheten.
Integralen över C_I, slutligen, övergår till den sökta reella integralen
f(x) dx vid samma gränsövergång som ovan.
Den ursprungliga likheten:
f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz
övergår därför under sådana förutsättningar till

f(z) dz = f(x) dx ,
då R -> .
Den här metoden bygger alltså på att man kan visa att integralen över C_R går mot 0.
I avsnitten 6.5 och 6.6 studeras denna typ av integraler för två sorters integrander:
I 6.5 är den reella integranden av typ , där P(x) och Q(x) är polynom.
Det visar sig att om
grad P(x) grad Q(x) - 2
så går dz mot 0 och metoden kan användas.
(Nämnaren Q(x) antas vara 0 för alla reella x).
Detta följer i sin tur av en allmännare sats (Thm. 3) som hävdar samma sak för f(z) dz om det finns konstanter k, K och R_o så att
(*)    |f(z)| K/|z|^k , k > 1, för |z| > R_o i övre halvplanet.

I 6.6, där de reella integranderna är av typ sin x eller cos x, blir motsvarande villkor litet annorlunda p.g.a teckenväxlingen
hos cos x och sin x.
Kravet på avtagande för behöver nu inte vara lika hårt, vilket visar sig i avsnittets motsvarighet till Thm 3 (Thm 5): Om
(**)   |f(z)| K/|z|^k , k > 0 för |z| > R_o i övre halvplanet ,
och q > 0,
så går f(z) e^iqzdz mot 0 då R -> . Detta leder till följande villkor på polynomens gradtal:
Om grad P(x) grad Q(x) - 1
och q > 0,

så konvergerar

(***)     e^iqzdz
mot 0 då R -> och metoden blir tillämpbar.
Detta senaste resultat kallas i kursboken för Jordans Lemma, s. 352.
Den reella konsekvensen av Jordans Lemma formuleras nederst på s. 352:
Om Polynomen P(x) och Q(x) uppfyller villkoret ovan (grad P grad Q - 1) så kan de rella integralerna
cos qx dx     och      sin qx dx
bestämmas som

Re[2i e^iqz ]
resp.     Im[2i e^iqz]

Thm 3 resp. 5, med villkoren (*) resp. (**), bevisas med hjäp av ML-olikheten.
Beviset av Thm 5 är aningen mer intrikat och fordrar användning av olikheten

sin > 2/     i intervallet     0 < < /2
som illustreras i fig. 6.6-1, s. 351.
I 6.5 förekommer begreppet Cauchys principalvärde (s. 340) för en integral.
Det kan vara bra att känna till (i vissa fall kan en generaliserad integral vara divergent men ändå ha ett principalvärde) men begreppets tillämpas i boken huvudsakligen i avsnitt 6.7 som inte ingår i kursen.
6.8 Komplex integrering av flervärda funktioner.
Avsnittet består i stort sett av två exempel som här kompletteras med några kommentarer.
Om den komplexa integranden har förgreningspunkter fordras det att integrationsvägen läggs så att dessa punkter med tillhörande grensnitt undviks. Observera dock att man ofta har viss frihet att lägga grensnittet.
Man behöver också välja integrationsväg så att den sökta reella integralen faller ut som en kvarstående del av uttrycket för den komplexa integralen.
I praktiken väljer man vanligen mellan nedanstående två typer av integrationsvägar:

Halvcirkel Nyckelhål

Ex1.
I detta fall med en logaritm i integranden är halvcirkelalternativet det enda möjliga eftersom de två parallella vågräta kurvdelarna i nyckelhålsfallet leder till att de reella logaritmintegralerna över dessa delar tar ut varandra.
När en förgreningspunkt omkretsas påverkas alltid de komplexa funktionsvärdena. I Exempel 1 har principallogaritmen Log z värdena ln|x| på positiva reella axeln och ln|x| + i på den negativa.
Notera hur motsvarande integraler adderas (s. 368) vilket i detta fall inte leder till kancellation.
I övrigt kräver metoden bevis av att de två integralerna över halvcirklar konvergerar mot 0 då cirkelradierna och R går mot 0 resp. .
I Ex 1 behandlas det förra gränsvärdet i detalj (s. 369).
ML-olikheten tillämpas och man ser att standardgränsvärdet ln = 0 kommer till användning.
Slutligen beräknas den slutna komplexa integralen med residykalkyl.
Den enda singulariteten inom kurvan är enkelpolen 2i som ger residyn
(Log 2 + i/2)/(4i) (se s. 369 nederst).
När summan av de enskilda delintegralerna sätts lika med den slutna integralens får man efter litet räkningar den sökta reella integralen till ( Log 2)/4.
Ex2.
I Ex 2 måste nyckelhålskurvan användas eftersom integranden har en singularitet på negativa reella axeln.
Notera att grensnittet till den flervärda funktionen läggs så att det anpassas till denna nyckelhålskurva.
Man väljer dessutom en gren för så att värdet på någon av de vågräta kurvdelarna (i exemplet den högerriktade I) överensstämmer med det reella .
Värdet på blir då på den andra vågräta kurvdelen (III i exemplet, se s. 371 överst).
Integralerna över de två cirkulära kurvorna visas med hjälp av ML-olikheten konvergera mot 0 då radierna går mot 0 resp. .
I exemplet utreds fallet R -> i detalj. Den totala integralen bestäms som förut med residykalkyl.
I detta fall finns en enkelpol i z = -1 och residyns värde blir .
Av formel (6.8-12) framgår att den sökta reella integralen förekommer på två ställen i uttrycket för summan av delintegralerna. På samma sätt som i Ex 1 erhålls denna reella integral genom att detta uttryck sätts lika med det värde på den slutna komplexa integralen som erhållits via residyn (glöm inte faktorn 2i !)
Kapitel 6. Sammanfattning

Avsnitt Innehåll Bra exempel Hemuppgifter

6.1 Def:Residyn för f(z) i z_o
definieras som en integral över den slutna kurvan C
inom vilken f(z) är analytisk överallt utom i z_o
Thm 1: Residyn för f(z) i z_o är lika med koefficienten c_-1 i Laurentutvecklingen av f(z) i ett område 0<|z-z_o|<R.
Residysatsen(Thm 2):
= f(z),
där summan tas över alla residyer inom C.
Ex 1
Ex 2
Ex 3
s. 312-316
1
5

6.2 Def: Principaldelen (av Laurentserie) = delen med negativa exponenter.
Def: Pol av ordning N
Def: Isolerad singularitet (en förgreningspunkt ä r inte en isolerad singularitet).
Def: Hävbar singularitet (removable sing.)
Metod: Att fastställa ordningen för en pol (Rule 1, s. 320).)
Ex 1
s. 321
1
21

6.3 Residyregler:

Regel 1 (pol av ordn 1)
Regel 2 (pol av ordn 2)
Regel 3 (pol av ordn N)
Regel 4 (kvot)
Notera förutsättningarna för Regel 4:
f(z) skall vara en kvot med en enkelpol i z_o. I kvoten f(z) = g(z)/h(z) skall g(z_o) vara skilt från 0.
Om fel formel används:
Formeln ger värdet om polens ordning har underskattats.
Om däremot ordningen har överskattats, ger formeln korrekt värde.
Ex 1
Ex 2
Ex 3
Ex 4
Ex 5
s.329 - 332
5
7
19
31
33

6.4 Bestämning av reella trigonometriska integraler över intervallet [0, 2]. Ex 1
Ex 2
s.336 - 337
3
15

6.5 Kriterier för att C_R-integralerna skall gå mot 0 då R -> ( C_Rär halvcirkeln i övre halvplanet med radien R och medelpunkt i origo):
Thm 3:Om det finns konstanter K, R_o och
k > 1 så att integranden f(z) uppfyller
|f(z)| K/|z|^k för alla z med |z| > R_o i övre halvplanet, konvergerar C_R-integralen mot 0.
Om den reella integranden är en rationell funktion P(x)/Q(x) kan detta kriterium formuleras om:
grad P(x) grad Q(x) - 2.
Detta leder till att [P(x)/Q(x)]dx =
2i P(z)/Q(z) ,
där summan tas över residyer i övre halvplanet.
Ex 1
s. 341
Ex 2
s. 344
13
24

6.6 Thm 5 (som Thm 3,men med integranden
f(z)e^iqz ) :
Om det finns konstanter K, R_o och
k > 0 så att integranden f(z)e^iqz uppfyller
|f(z)| K/|z|^k för alla z med |z| > R_o i övre halvplanet, konvergerar f(z)e^iqz mot 0,
då q > 0 .
Om f(x) i den reella integranden är en rationell funktion P(x)/Q(x) kan detta kriterium formuleras om (Jordans lemma):
Om grad P(x) grad Q(x) - 1
och q> 0,
så konvergerar e^iqz dz
mot 0 då R -> .
Detta leder till att cos qx [P(x)/Q(x)]dx =
Re [2i e^iqzP(z)/Q(z)] ,
där summan tas över residyer i övre halvplanet.
Motsvarande sinusintegral blir lika med imaginärdelen av ovanstående.
Slutsatserna ovan bygger på förutsättningen att P(x) och Q(x) är reella polynom.
1
3
21
24

6.8 Bestämning av reella integraler, där de komplexa motsvarigheterna har flervärda integrander.
Metoden framgår av Ex 1 och Ex 2.
Ex 1
s. 367
Ex 2
s. 370
1
5

Avsnitt	Innehåll	Bra exempel	Hemuppgifter
6.1	Def:Residyn för f(z) i z_o definieras som en integral över den slutna kurvan C inom vilken f(z) är analytisk överallt utom i z_o Thm 1: Residyn för f(z) i z_o är lika med koefficienten c_-1 i Laurentutvecklingen av f(z) i ett område 0<\|z-z_o\|<R. Residysatsen(Thm 2): = f(z), där summan tas över alla residyer inom C.	Ex 1 Ex 2 Ex 3 s. 312-316	1 5
6.2	Def: Principaldelen (av Laurentserie) = delen med negativa exponenter. Def: Pol av ordning N Def: Isolerad singularitet (en förgreningspunkt ä r inte en isolerad singularitet). Def: Hävbar singularitet (removable sing.) Metod: Att fastställa ordningen för en pol (Rule 1, s. 320).)	Ex 1 s. 321	1 21
6.3	Residyregler: Regel 1 (pol av ordn 1) Regel 2 (pol av ordn 2) Regel 3 (pol av ordn N) Regel 4 (kvot) Notera förutsättningarna för Regel 4: f(z) skall vara en kvot med en enkelpol i z_o. I kvoten f(z) = g(z)/h(z) skall g(z_o) vara skilt från 0. Om fel formel används: Formeln ger värdet om polens ordning har underskattats. Om däremot ordningen har överskattats, ger formeln korrekt värde.	Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 s.329 - 332	5 7 19 31 33
6.4	Bestämning av reella trigonometriska integraler över intervallet [0, 2].	Ex 1 Ex 2 s.336 - 337	3 15
6.5	Kriterier för att C_R-integralerna skall gå mot 0 då R -> ( C_Rär halvcirkeln i övre halvplanet med radien R och medelpunkt i origo): Thm 3:Om det finns konstanter K, R_o och k > 1 så att integranden f(z) uppfyller \|f(z)\| K/\|z\|^k för alla z med \|z\| > R_o i övre halvplanet, konvergerar C_R-integralen mot 0. Om den reella integranden är en rationell funktion P(x)/Q(x) kan detta kriterium formuleras om: grad P(x) grad Q(x) - 2. Detta leder till att [P(x)/Q(x)]dx = 2i P(z)/Q(z) , där summan tas över residyer i övre halvplanet.	Ex 1 s. 341 Ex 2 s. 344	13 24
6.6	Thm 5 (som Thm 3,men med integranden f(z)e^iqz ) : Om det finns konstanter K, R_o och k > 0 så att integranden f(z)e^iqz uppfyller \|f(z)\| K/\|z\|^k för alla z med \|z\| > R_o i övre halvplanet, konvergerar f(z)e^iqz mot 0, då q > 0 . Om f(x) i den reella integranden är en rationell funktion P(x)/Q(x) kan detta kriterium formuleras om (Jordans lemma): Om grad P(x) grad Q(x) - 1 och q> 0, så konvergerar e^iqz dz mot 0 då R -> . Detta leder till att cos qx [P(x)/Q(x)]dx = Re [2i e^iqzP(z)/Q(z)] , där summan tas över residyer i övre halvplanet. Motsvarande sinusintegral blir lika med imaginärdelen av ovanstående. Slutsatserna ovan bygger på förutsättningen att P(x) och Q(x) är reella polynom.		1 3 21 24
6.8	Bestämning av reella integraler, där de komplexa motsvarigheterna har flervärda integrander. Metoden framgår av Ex 1 och Ex 2.	Ex 1 s. 367 Ex 2 s. 370	1 5