Vecka 5

Veckans stoff omfattar till att börja med avsnitten 7.3 och 7.4 : Argumentprincipen och Nyquists stabilitetskriterium.

Detta innebär en avvikelse från bokens uppläggning, men motiveras av att vi vill hinna presentera det stoff som Inlämningsuppgiften bygger på (7.3 - 7.4) så tidigt som möjligt.

Därefter går vi tillbaka till kapitel 6 och studerar avsnitten 6.3 och 6.4: Att bestämma residyer resp. Beräkning av integraler med residykalkyl I. Alltså sammanfattningsvis:

7.3 Argumentprincipen

7.4 Nyquists stabilitetskriterium

6.3 Att bestämma residyer

6.4 Beräkning av integraler med residykalkyl I.

Kapitel 7.3-4. Argumentprincipen och Nyquists metod.

Mycket kort sammanfattning av 7.1-7.2 7.1 - 7.2 ingår inte i kursen men innehåller en del motivation för 7.3 - 7.4 som bör omnämnas: Inom reglertekniken har man ofta anledning att studera lösningar till linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Oftast är det olika elektriska kretsar som svarar mot de olika differentialekvationerna och de sökta lösningsfunktionerna utgör spänningen eller strömstyrkan. Sådana ekvationer kan som bekant lösas m.hj.a. den så kallade karakteristiska ekvationen som fås ur differentialekvationen genom att deriveringsoperatorn ersätts av en komplex variabel. Ex. (*)  y'' + 3y' + 7y = 0 svarar mot den karakteristiska ekvationen s2 + 3s + 7 = 0. Den karakteristiska ekvationens komplexa rötter bestämmer sedan lösningen till (*) enligt principen. s = a (reell) ger en lösningsterm y = Aeax och s1,2 = b ± ic ger lösningen y = ebx(A cos cx + B sin cx ). Här förstår man att dessa rötters realdelar är helt bestämmande för om lösningarna växer obegränsat eller inte. Man ser att om Re(s) < 0 så konvergerar lösningarna mot 0, om Re(s) = 0 blir lösningarna begränsade (rena cosinus- och sinus-svängningar) samt om Re(s) > 0 så växer de obegränsat. I de två första fallen säger man att lösningarna är stabila. För högre ordningens ekvationer är det ju inte lika lätt som i fallet andragradsekvationer att avgöra detta. Det behövs alltså en metod att avgöra var någonstans i det komplexa planet (vänstra eller högra halvplanet) rötterna till polynom av högre ordning ligger. Nyquist hittade en sådan metod genom en elegant tillämpning av argumentprincipen, som p.g.a de tillämpningar som omnämnts ovan kallas Nyquists stabilitetskriterium. Kursboken diskuterar dessa frågor i termer av överföringsfunktionen G(s), varvid rötterna till den ovannämnda karakteristiska ekvationen svarar mot nollställena till G(s):s nämnare.

7.3 Argumentprincipen Antag att C är en sluten kurva i z-planet och f(z) en analytisk funktion vars nollställen inom C vi är intresserade av. Argumentprincipen relaterar antalet nollställen (och poler) inuti C till egenskaper hos f(C), dvs bilden av C under transformationen f(z). Närmare bestämt visar det sig att antalet varv V som f(C) omkretsar origo är lika med antalet nollställen N minus antalet poler P inom C: V = N - P . Grundidén bakom argumentprincipen är följande: Man studerar integralen I = och finner genom att använda integrandens primitiva funktion att dess värde är V. Samtidigt finner man m.hj.a. residykalkyl att dess värde är N - P. Här är några fler detaljer: Eftersom log f(z) = ln|f(z)| + i arg f(z) är en primitiv funktion till integranden f'(z)/f(z), blir integralen I = (ln|f(Pslut)| - ln|f(Pstart)| + i arg f(Pslut) - i arg f(Pstart) ) = arg f(z). (Eftersom Pstart och Pslut är samma punkt då C är sluten, blir skillnaden mellan logaritmerna 0). arg f(z) utgör alltså förändringen av f(z):s argument då f(z) genomlöper bildkurvan f(C). Uttrycket V = arg f(z) ger då antalet varv i positiv riktning som kurvan f(C) beskriver. I figuren är alltså V = 2. Integralen I kan även beräknas med residykalkyl. I kursboken s. 457 visas att om zo är ett nollställe av ordning n till f(z), så är Res [f'(z)/f(z) , zo] = n. Med samma sorts argument kan visas att om z1 är en pol av ordning p till f(z), blir Res [f'(z)/f(z) , z1] = - p De enda singulariteterna till integranden f'(z)/f(z) är de punkter som svarar mot nollställen eller poler till f(z). Av detta följer enligt residysatsen att I = N - P Rouchés sats Rouchés sats utgör en viktig tillämpning av argumentprincipen. I kursboken är den förvisad till en övningsuppgift (Exercise 8, s. 463), men ingår inte desto mindre i kursen och tillämpas också i Inlämningsuppgiften. Satsen lyder: Antag att f(z) och g(z) är analytiska på och inom den enkelt slutna kurvan C. Om då (*)    |g(z)| < |f(z)|     på C, har f(z) + g(z) och f(z) samma antal nollställen inom C. Satsen används ofta så att f(z) = (z - zo)n och g(z) = lägre ordningens termer + ev. andra funktioner. Antalet nollställen för f(z) är ju då n (Obs. att nollställenas multiplicitet räknas) vilket då är detsamma för f(z) + g(z) om olikheten (*) kan visas gälla på C. (Observera att (*) endast behöver visas gälla på C och inte inom C.) Rouchés sats används ofta då C är en cirkel, halvcirkel eller rektangel. Metoden går i praktiken ut på att visa olikheten (*) på C, där det ofta är praktiskt att dela upp C i olika delar och visa (*) på varje del för sig. Eftersom funktionens belopp skall uppskattas är det bra att kunna några beloppsuppskattningar av vanliga funktioner: |zn| rn |ez| ex |sin z| cosh y |cos z| cosh y,         z = x + iy 7.4 Nyquists stabilitetskriterium. Nyquists metod går ut på att med hjälp av argumentprincipen undersöka antalet nollställen i högra halvplanet för polynom B(s) ( i kursboken betecknar i detta avsnitt 's' den komplexa variabeln). Eftersom polynom inte har några poler blir alltid P = 0, dvs, V = N i argumentprincipen. (I och för sig är det fullt möjligt att undersöka även andra funktioners nollställen med Nyquists metod). Högra halvplanet representeras av en stor halvcirkel med radien R. Tanken är att för tillräckligt stort R ligger alla polynomets nollställen i högra halvplanet i denna halvcirkel. Halvcirkeln C delas upp i den cirkulära delen, CR, och den linjära, CI som utgör imaginära axeln mellan y = R (punkten P) och y = -R (punkten Q): I enlighet med argumentprincipen undersöker man nu antalet omkretsningar av origo för bildkurvan B(C). Här ger kurvdelen B(CR) ett bidrag som endast beror på polynomets grad: Antag att polynomet B(s) är av grad n. Om CR genomlöps i positiv riktning får arg B(s) ett tillskott Rarg B(s) n (se kursboken s. 465). Den osäkerhet som tecknet "" uttrycker beror på att talet R har ett ändligt värde. I slutet tänker sig man att R går mot oändligheten varvid osäkerheten försvinner. Kurvdelen B(CI):s bidrag måste konstrueras fram i varje enskilt fall. För tolkningen av resultatet är det därvid viktigt att den konstruerade kurvan börjar och slutar på ungefär rätt ställe, dvs. att B(P) och B(Q) hamnar rätt. Om arg B(s) ökar med Iarg B(s) m då CI genomlöps blir totala tillskottet Carg B(s) (n + m), dvs = (n + m) då R går mot oändligheten. Antalet nollställen i högra halvplanet blir därmed = antalet varv för B(C), dvs N = V = (n + m)/2, som alltså måste vara ett heltal. Anm: Nyquists klassiska kriterium formuleras på s. 466 på följande sätt: Om B(s) omkretsar origo ett positivt antal varv då s rör sig runt halvcirkeln C, så finns minst ett nollställe till B(s) i högra halvplanet. Som vi har sett ger metoden också information om antalet nollställen där.

Kapitel 7. Sammanfattning

Avsnitt	Innehåll	Bra exempel	Hemuppgifter
7.3 Argumentprincipen	Argumentprincipen (Thm 6): V = C arg f(z) = N - P, där N och P är antalet nollställen resp. poler (multipliciteterna inräknade) inom C. Rouchés sats (Exerc. 8, s.463): Om f(z) och g(z) är analytiska på och inom den enkelt slutna kurvan C, och |g(z)| < |f(z)|  på C, så har f(z) + g(z) och f(z) samma antal nollställen inom C.	Ex 2, s.460	12 13
7.4 Nyquists stabilitetskriterium	Nyquists metod	Ex 1 Ex 2 Ex 3 s. 466-469	1 3

6.3 Att bestämma residyer. Avsnitt 6.3 innehåller några regler som betydligt underlättar bestämningen av residyer. Man behöver inte alltid bestämma hela Laurentutvecklingen för att få tag på den eftersökta koefficienten c-1 Det visar sig att residyerna normalt kan bestämmas med en formel, ofta i form av ett gränsvärde. Dock är denna formels utseende beroende av singularitetens karaktär. I fallet poler finns det en formel för varje värde på polens ordning. För en enkelpol zo gäller (R1)       Res [f(z) , zo] = (z - zo) f(z). Detta är ett specialfall av fallet att zo är en pol av ordning N: (RN)       Res [f(z) , zo] = [(z - zo) f(z)] Lägg märke till att då f(z) är en rationell funktion ger residy-formeln i enkelpolfallet samma sorts beräkning som då täljarna skall bestämmas vid en partialbråksutrveckling. Ex: f(z) = 2/[(z-1)(z-3)] = 1/(z-3) - 1/(z-1). Formel (R1) ger här Res [f(z) , 3] = 1 och Res [f(z) , 1] = -1, dvs. samma tal som täljarna i partialbråksutvecklingen. Formel (R1) ger helt enkelt en formelversion av s.k. handpåläggning. I det fall funktionen f(z) är en kvot ges en annan formel som kan vara praktisk om zo är en enkelpol: Antag att f(z) = g(z)/h(z) och att f(z) har en enkelpol i zo samt att g(zo) 0. Då är (Rkvot)       Res [f(z) , zo] = g(zo) / h'(zo). Om slutligen zo är en väsentlig singularitet ges inte någon annan metod än att bestämma residyn via en Laurentutveckling omkring zo. En av svårigheterna i detta avsnitt är naturligtvis att finna rätt formel för residyn, dvs. att bestämma polernas ordning. I avsnitt 6.2 gavs ett kriterium för just detta som kan vara värt att erinra sig nu (Rule 1, s.320). Dock påpekas det i kursboken att om man använder fel formel så gör det inte så mycket. Om man tror att polens ordning är lägre än den verkligen är, så upptäcks det i och med att formeln ger ett oändligt värde. Om man däremot tror att ordningen är högre än den verkliga, blir resultatet ändå korrekt, även om man då använder en onödigt krånglig formel. 6.4 Beräkning av integraler med residykalkyl I. Detta avsnitt behandlar en ganska speciell typ av reella integraler som visar sig kunna lösas på ett vanligen enklare sätt än vad den reella integralkalkylen kan erbjuda. Det gäller de trigonometriska integraler över intervallet [0 , 2] vars integrand kan skrivas som en funktion av enbart sin och cos . Genom att överföra integralen till en komplex integral enligt mönstret: d = dz/iz sin = (z - z-1)/2i cos = (z + z-1)/2 får man en komplex integral f(z) dz över enhetscirkeln C som kan bestämmas med residykalkyl förutsatt att ingen singularitet ligger på C.